Prove que se f(x, y, z) for homogênea de grau n, então
x f_x + y f_y + z f_z = n * f

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que se uma função f(x, y, z) é homogênea de grau n, então a combinação é igual a n vezes a própria função f. Aqui, estamos lidando com funções homogêneas e derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser homogênea e como calcular suas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função homogênea. Uma função f(x, y, z) é dita homogênea de grau n se, ao multiplicarmos todas as suas variáveis por um escalar t, a função resultante é igual a vezes a função original. Matematicamente, isso é escrito como:
Essa propriedade vai ser crucial para a nossa prova.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a definição de função homogênea. Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a t. Isso significa que vamos calcular a derivada com respeito a t de cada parte.

Passo 4

Calculando a derivada do lado esquerdo usando a regra da cadeia, temos:
No lado direito, a derivada é:
Como as duas derivadas devem ser iguais para todo t, podemos igualar as expressões:
Mas, pela definição de função homogênea, quando t = 1, a equação se simplifica para:

Resposta

Portanto, provamos que se f(x, y, z) é homogênea de grau n, então:

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