Prove que se
for homogênea de grau
, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que se uma função
é homogênea de grau
, então a combinação
é igual a
vezes a própria função
. Aqui, estamos lidando com funções homogêneas e derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser homogênea e como calcular suas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função homogênea. Uma função
é dita homogênea de grau
se, ao multiplicarmos todas as suas variáveis por um escalar
, a função resultante é igual a
vezes a função original. Matematicamente, isso é escrito como:
Essa propriedade vai ser crucial para a nossa prova.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a definição de função homogênea. Vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
. Isso significa que vamos calcular a derivada com respeito a
de cada parte.
Passo 4
Calculando a derivada do lado esquerdo usando a regra da cadeia, temos:
No lado direito, a derivada é:
Como as duas derivadas devem ser iguais para todo
, podemos igualar as expressões:
Mas, pela definição de função homogênea, quando
, a equação se simplifica para:
Resposta
Portanto, provamos que se
é homogênea de grau
, então: