Para cada função abaixo, determine em quais intervalos ela é crescente e em quais intervalos ela é decrescente (considere o maior domínio possível).
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir em quais intervalos a função
está crescente ou decrescente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas, que nos ajudam a saber como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser crescente ou decrescente:
- Crescente: A função está subindo, ou seja, se você aumentar o
, o também aumenta. - Decrescente: A função está descendo, ou seja, se você aumentar o
, o diminui.
Para descobrir isso, usamos a derivada da função. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
. A derivada de
é
, então:
Então, a derivada é
.
Passo 4
Agora, vamos analisar onde essa derivada é positiva ou negativa.
- Quando
: - Quando
:
Então, precisamos saber onde
é positivo e onde é negativo.
Passo 5
Sabemos que a função seno (
) é positiva no primeiro e segundo quadrantes do círculo trigonométrico, ou seja, quando
está entre
e
. E é negativa no terceiro e quarto quadrantes, entre
e
.
Como as funções trigonométricas têm período
, esse padrão se repete a cada
.
Passo 6
Então, juntando tudo:
- Crescente quando
, ou seja, nos intervalos . - Decrescente quando
, ou seja, nos intervalos .
Aqui,
é qualquer número inteiro, representando as diferentes repetições do ciclo trigonométrico.
Resposta
A função
é:
- Crescente em todos os intervalos
. - Decrescente em todos os intervalos
.
Onde
é um número inteiro (ou seja,
).
Exercícios relacionados
Seja
a função bijetiva dada por
. Denote por
a inversa de
. Calcule
.
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(27)
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Para cada função abaixo, determine em quais intervalos ela é crescente e em quais intervalos ela é decrescente (considere o maior domínio possível).
(9)
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Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(31)
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