Para cada função abaixo, determine em quais intervalos ela é crescente e em quais intervalos ela é decrescente (considere o maior domínio possível).
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir em quais intervalos a função está crescente ou decrescente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas, que nos ajudam a saber como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser crescente ou decrescente:
  • Crescente: A função está subindo, ou seja, se você aumentar o , o também aumenta.
  • Decrescente: A função está descendo, ou seja, se você aumentar o , o diminui.
Para descobrir isso, usamos a derivada da função. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função . A derivada de é , então:
Então, a derivada é .

Passo 4

Agora, vamos analisar onde essa derivada é positiva ou negativa.
  • Quando :
  • Quando :
Então, precisamos saber onde é positivo e onde é negativo.

Passo 5

Sabemos que a função seno ( ) é positiva no primeiro e segundo quadrantes do círculo trigonométrico, ou seja, quando está entre e . E é negativa no terceiro e quarto quadrantes, entre e .
Como as funções trigonométricas têm período , esse padrão se repete a cada .

Passo 6

Então, juntando tudo:
  • Crescente quando , ou seja, nos intervalos .
  • Decrescente quando , ou seja, nos intervalos .
Aqui, é qualquer número inteiro, representando as diferentes repetições do ciclo trigonométrico.

Resposta

A função é:
  • Crescente em todos os intervalos .
  • Decrescente em todos os intervalos .
Onde é um número inteiro (ou seja, ).

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Seja a função bijetiva dada por . Denote por a inversa de . Calcule .
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
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Para cada função abaixo, determine em quais intervalos ela é crescente e em quais intervalos ela é decrescente (considere o maior domínio possível).
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Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
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