Seja f: R -> R a função bijetiva dada por f(x) = x + x^3. Denote por g: R -> R a inversa de f. Calcule g'(2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que é bijetiva, ou seja, é uma função que liga todo número real a apenas um outro número real, e vice-versa. A gente quer encontrar a derivada da função inversa de no ponto onde é a derivada. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções inversas e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se é a função inversa de , então para todo no domínio de . A gente vai usar a regra da derivada da função inversa, que diz que . Então, para encontrar , precisamos saber .

Passo 3

Antes de calcular , vamos encontrar o valor de . Sabemos que é o valor de tal que . Ou seja, precisamos resolver a equação:

Passo 4

Vamos resolver . Vamos tentar encontrar um valor de que satisfaça essa equação. Testando :
Então, é a solução. Logo, .

Passo 5

Agora que sabemos que , vamos calcular . A derivada de é:

Passo 6

Vamos avaliar no ponto :

Passo 7

Finalmente, aplicando a regra da derivada da função inversa:

Resposta

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