Seja
a função bijetiva dada por
. Denote por
a inversa de
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
que é bijetiva, ou seja, é uma função que liga todo número real a apenas um outro número real, e vice-versa. A gente quer encontrar a derivada da função inversa
de
no ponto onde
é a derivada. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções inversas e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
é a função inversa de
, então
para todo
no domínio de
. A gente vai usar a regra da derivada da função inversa, que diz que
. Então, para encontrar
, precisamos saber
.
Passo 3
Antes de calcular
, vamos encontrar o valor de
. Sabemos que
é o valor de
tal que
. Ou seja, precisamos resolver a equação:
Passo 4
Vamos resolver
. Vamos tentar encontrar um valor de
que satisfaça essa equação. Testando
:
Então,
é a solução. Logo,
.
Passo 5
Agora que sabemos que
, vamos calcular
. A derivada de
é:
Passo 6
Vamos avaliar
no ponto
:
Passo 7
Finalmente, aplicando a regra da derivada da função inversa:
Resposta
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