Para cada função abaixo, determine em quais intervalos ela é crescente e em quais intervalos ela é decrescente (considere o maior domínio possível).
(9)
(9)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir em quais intervalos a função
está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a entender como a função se comporta em diferentes pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto, ou seja, se a função está subindo ou descendo naquele ponto.
A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então, podemos calcular:
Passo 3
Agora, vamos analisar o sinal da derivada
para descobrir onde a função está crescente ou decrescente.
- Quando
: A função está crescente. - Quando
: A função está decrescente.
Vamos resolver a inequação
.
Passo 4
Para encontrar onde
, igualamos a derivada a zero:
Isso acontece quando
, porque:
Passo 5
Agora, vamos analisar os sinais da derivada em cada intervalo definido por
:
-
Para
: -
é positivo e cresce exponencialmente. -
é positivo, mas decresce à medida que aumenta. - Portanto,
, o que significa que .
-
-
Para
: -
é positivo, mas decresce à medida que diminui. -
é positivo e cresce à medida que diminui. - Portanto,
, o que significa que .
-
Resposta
A função
é crescente no intervalo
e decrescente no intervalo
.
Exercícios relacionados
Para cada função abaixo, determine em quais intervalos ela é crescente e em quais intervalos ela é decrescente (considere o maior domínio possível).
(4)
(4)
Seja
a função bijetiva dada por
. Denote por
a inversa de
. Calcule
.
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(31)
(31)
Para cada função abaixo, determine em quais intervalos ela é crescente e em quais intervalos ela é decrescente (considere o maior domínio possível).
(1)
(1)