Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(31)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos lidando com funções compostas: a função arco-tangente (arctg) e o logaritmo natural (log). Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão compostas:
  • A função externa é , onde .
  • A função interna é .
A regra da cadeia nos diz que a derivada de será a derivada da função externa em relação a multiplicada pela derivada da função interna em relação a .

Passo 3

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Derivada da função externa em relação a :
  2. Derivada da função interna em relação a :

Passo 4

Agora, aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Para cada função abaixo, determine em quais intervalos ela é crescente e em quais intervalos ela é decrescente (considere o maior domínio possível).
(9)
Para cada função abaixo, determine em quais intervalos ela é crescente e em quais intervalos ela é decrescente (considere o maior domínio possível).
(4)
Para cada função abaixo, determine em quais intervalos ela é crescente e em quais intervalos ela é decrescente (considere o maior domínio possível).
(1)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(33)