Para cada função abaixo, determine
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde a função é
e precisamos encontrar a sua décima quinta derivada, ou seja,
. Aqui, vamos usar o conhecimento de derivadas de funções potenciais e entender como calcular derivadas de ordem superior.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a aplicação das regras de derivação. Sabemos que
pode ser escrita como
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da regra de derivação para potências de
. Se
, então a derivada de
em relação a
é:
Essa regra nos ajuda a encontrar a derivada de qualquer função que seja uma potência de
.
Passo 4
Vamos aplicar essa regra para encontrar as primeiras derivadas de
e identificar um padrão que nos permita generalizar para a 15ª derivada.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Observamos que o coeficiente está seguindo um padrão que envolve fatorial e sinais alternados.
Passo 5
A partir das derivadas calculadas, percebemos que a
-ésima derivada de
pode ser expressa pela fórmula geral:
Aqui,
representa o fatorial de
, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até
.
Passo 6
Agora, vamos aplicar essa fórmula para
:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Ou, de forma equivalente:
Resposta
A décima quinta derivada de
é:
Exercícios relacionados
Para cada função abaixo, determine
, onde
.
Derive cada um das funções abaixo.
Sabemos que, para
, com
e
. Utilizando a mudança de base apresentada, determine a derivada de cada um das funções abaixo.
.
Derive cada um das funções abaixo.