Sabemos que, para
, com
e
. Utilizando a mudança de base apresentada, determine a derivada de cada um das funções abaixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
. Esse problema envolve cálculo de derivadas e propriedades dos logaritmos. Para resolver, vamos usar a mudança de base dos logaritmos e as regras de derivação de funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função usando a mudança de base dos logaritmos. A mudança de base diz que:
Então, vamos aplicar isso nas duas partes da nossa função
:
Passo 3
Agora, substituímos essas expressões na função original:
Observamos que
aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar:
Passo 4
Perceba que
e
são constantes, já que 4 e 2 são números fixos. Sabemos que
, então
. Substituindo:
Portanto, a função
é constante e igual a 2 para todo
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada de uma função constante. A regra básica da derivação diz que a derivada de uma constante é zero. Então:
Resposta
A derivada da função
é
.
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Para cada função abaixo, determine
, onde
.
Para cada função abaixo, determine
, onde
.
Derive cada um das funções abaixo.
Derive cada um das funções abaixo.