Sabemos que, para x > 0, log_a(x) = ln(x) / ln(a), com a > 0 e a <> 1. Utilizando a mudança de base apresentada, determine a derivada de cada um das funções abaixo.
f(x) = log2(x) / log4(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Esse problema envolve cálculo de derivadas e propriedades dos logaritmos. Para resolver, vamos usar a mudança de base dos logaritmos e as regras de derivação de funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função usando a mudança de base dos logaritmos. A mudança de base diz que:
Então, vamos aplicar isso nas duas partes da nossa função :

Passo 3

Agora, substituímos essas expressões na função original:
Observamos que aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar:

Passo 4

Perceba que e são constantes, já que 4 e 2 são números fixos. Sabemos que , então . Substituindo:
Portanto, a função é constante e igual a 2 para todo .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada de uma função constante. A regra básica da derivação diz que a derivada de uma constante é zero. Então:

Resposta

A derivada da função é .

Exercícios relacionados

Para cada função abaixo, determine f^n(x), onde
f(x) = 1/x, n = 15.
Para cada função abaixo, determine f^n(x), onde
f(x) = 2 x^4 + 3, n = 3.
Derive cada um das funções abaixo.
f(x) = sen(3 x)
Derive cada um das funções abaixo.
f(x) = cot(10 x)