Para cada função f abaixo, determine todos os valores de x para os quais f é contínua.
f(x) = (x^2 + 2x - 8) / (x^3 + 6x + 5x - 12);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir para quais valores de a função é contínua. Estamos lidando com funções racionais, que são basicamente frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender quando uma função racional é contínua, ou seja, quando ela não tem “quebras” ou “buracos”.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função racional é contínua em todos os lugares onde o denominador não é zero. Se o denominador for zero, a função pode ter uma descontinuidade, como um ponto onde ela não existe. Então, nosso trabalho é encontrar os valores de que fazem o denominador igual a zero.

Passo 3

Vamos focar no denominador: . Precisamos achar para quais valores de essa expressão é igual a zero. Isso significa resolver a equação:
Resolver equações cúbicas pode ser complicado, mas podemos tentar encontrar raízes racionais usando o teorema das raízes racionais. Os possíveis candidatos para são os divisores do termo constante ( ) divididos pelos divisores do coeficiente líder ( ). Então, os possíveis valores são .

Passo 4

Vamos testar esses valores para ver qual deles satisfaz a equação:
  • Para :
Bingo! é uma raiz.

Passo 5

Agora que sabemos que é uma raiz, podemos fatorar o polinômio usando a divisão sintética ou polinomial. Ao fatorar, encontramos que:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático:
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 6

Agora, temos as raízes do denominador: . Esses são os valores que fazem o denominador zero, então a função não está definida nesses pontos.

Passo 7

Finalmente, concluímos que a função é contínua em todos os valores de , exceto em e , porque nesses pontos a função não está definida.

Resposta

A função é contínua para todos os valores de exceto , e .

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