Para cada função abaixo, determine todos os valores de para os quais é contínua. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir para quais valores de a função é contínua. Estamos lidando com funções racionais, que são basicamente frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender quando uma função racional é contínua, ou seja, quando ela não tem “quebras” ou “buracos”.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função racional é contínua em todos os lugares onde o denominador não é zero. Se o denominador for zero, a função pode ter uma descontinuidade, como um ponto onde ela não existe. Então, nosso trabalho é encontrar os valores de que fazem o denominador igual a zero.
Passo 3
Vamos focar no denominador: . Precisamos achar para quais valores de essa expressão é igual a zero. Isso significa resolver a equação:
Resolver equações cúbicas pode ser complicado, mas podemos tentar encontrar raízes racionais usando o teorema das raízes racionais. Os possíveis candidatos para são os divisores do termo constante () divididos pelos divisores do coeficiente líder (). Então, os possíveis valores são .
Passo 4
Vamos testar esses valores para ver qual deles satisfaz a equação:
Para :
Bingo! é uma raiz.
Passo 5
Agora que sabemos que é uma raiz, podemos fatorar o polinômio usando a divisão sintética ou polinomial. Ao fatorar, encontramos que:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático:
Então, o denominador fatorado fica:
Passo 6
Agora, temos as raízes do denominador: . Esses são os valores que fazem o denominador zero, então a função não está definida nesses pontos.
Passo 7
Finalmente, concluímos que a função é contínua em todos os valores de , exceto em e , porque nesses pontos a função não está definida.
Resposta
A função é contínua para todos os valores de exceto , e .