Para cada função
abaixo, determine todos os valores de
para os quais
é contínua.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir para quais valores de
a função
é contínua. Estamos lidando com funções racionais, que são basicamente frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender quando uma função racional é contínua, ou seja, quando ela não tem “quebras” ou “buracos”.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função racional é contínua em todos os lugares onde o denominador não é zero. Se o denominador for zero, a função pode ter uma descontinuidade, como um ponto onde ela não existe. Então, nosso trabalho é encontrar os valores de
que fazem o denominador igual a zero.
Passo 3
Vamos focar no denominador:
. Precisamos achar para quais valores de
essa expressão é igual a zero. Isso significa resolver a equação:
Resolver equações cúbicas pode ser complicado, mas podemos tentar encontrar raízes racionais usando o teorema das raízes racionais. Os possíveis candidatos para
são os divisores do termo constante (
) divididos pelos divisores do coeficiente líder (
). Então, os possíveis valores são
.
Passo 4
Vamos testar esses valores para ver qual deles satisfaz a equação:
- Para
:
Bingo!
é uma raiz.
Passo 5
Agora que sabemos que
é uma raiz, podemos fatorar o polinômio usando a divisão sintética ou polinomial. Ao fatorar, encontramos que:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático:
Então, o denominador fatorado fica:
Passo 6
Agora, temos as raízes do denominador:
. Esses são os valores que fazem o denominador zero, então a função
não está definida nesses pontos.
Passo 7
Finalmente, concluímos que a função é contínua em todos os valores de
, exceto em
e
, porque nesses pontos a função não está definida.
Resposta
A função
é contínua para todos os valores de
exceto
,
e
.