Seja uma função que é contínua em 0 e tal que para todo . Mostre que é contínua em todo ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função que é contínua no ponto 0. Além disso, essa função tem a propriedade de que para quaisquer números reais e , vale que . O que precisamos mostrar é que, se a função é contínua em 0, então ela é contínua em qualquer outro ponto da reta real. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade e propriedades de funções aditivas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se, para todo , existe um tal que sempre que , então .
Passo 3
Agora, sabendo que é contínua em 0, isso significa que para todo , existe um tal que se , então . Mas, vamos ver o que é .
Passo 4
Vamos usar a propriedade da função: . Se colocarmos e , temos , ou seja, . Subtraindo de ambos os lados, obtemos .
Passo 5
Agora, queremos mostrar que é contínua em qualquer . Vamos considerar próximo de , ou seja, , onde é um pequeno número próximo de 0. Queremos que seja tal que , onde vem da continuidade em 0.
Passo 6
Usando a propriedade da função, temos:
Então, a diferença se torna:
Passo 7
Como sabemos que é contínua em 0, se , então . Portanto, sempre que , temos .
Passo 8
Isso mostra que para todo , existe um (o mesmo da continuidade em 0) tal que implica . Ou seja, é contínua em .
Resposta
Assim, demonstramos que se é contínua em 0 e satisfaz para todo , então é contínua em qualquer ponto da reta real.