Seja uma função que é contínua em 0 e tal que para todo . Mostre que é contínua em todo ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função que é contínua no ponto 0. Além disso, essa função tem a propriedade de que para quaisquer números reais e , vale que . O que precisamos mostrar é que, se a função é contínua em 0, então ela é contínua em qualquer outro ponto da reta real. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade e propriedades de funções aditivas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se, para todo , existe um tal que sempre que , então .

Passo 3

Agora, sabendo que é contínua em 0, isso significa que para todo , existe um tal que se , então . Mas, vamos ver o que é .

Passo 4

Vamos usar a propriedade da função: . Se colocarmos e , temos , ou seja, . Subtraindo de ambos os lados, obtemos .

Passo 5

Agora, queremos mostrar que é contínua em qualquer . Vamos considerar próximo de , ou seja, , onde é um pequeno número próximo de 0. Queremos que seja tal que , onde vem da continuidade em 0.

Passo 6

Usando a propriedade da função, temos:
Então, a diferença se torna:

Passo 7

Como sabemos que é contínua em 0, se , então . Portanto, sempre que , temos .

Passo 8

Isso mostra que para todo , existe um (o mesmo da continuidade em 0) tal que implica . Ou seja, é contínua em .

Resposta

Assim, demonstramos que se é contínua em 0 e satisfaz para todo , então é contínua em qualquer ponto da reta real.

Exercícios relacionados

Discuta a continuidade das funções abaixo:
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Encontre os valores de e que fazem com que a função dada abaixo seja contínua em :
Para cada função abaixo, determine todos os valores de para os quais é contínua.
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Para cada função abaixo, determine todos os valores de para os quais é contínua.