Seja
uma função que é contínua em 0 e tal que
para todo
. Mostre que
é contínua em todo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função
que é contínua no ponto 0. Além disso, essa função tem a propriedade de que para quaisquer números reais
e
, vale que
. O que precisamos mostrar é que, se a função é contínua em 0, então ela é contínua em qualquer outro ponto
da reta real. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade e propriedades de funções aditivas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se, para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
.
Passo 3
Agora, sabendo que
é contínua em 0, isso significa que para todo
, existe um
tal que se
, então
. Mas, vamos ver o que é
.
Passo 4
Vamos usar a propriedade da função:
. Se colocarmos
e
, temos
, ou seja,
. Subtraindo
de ambos os lados, obtemos
.
Passo 5
Agora, queremos mostrar que
é contínua em qualquer
. Vamos considerar
próximo de
, ou seja,
, onde
é um pequeno número próximo de 0. Queremos que
seja tal que
, onde
vem da continuidade em 0.
Passo 6
Usando a propriedade da função, temos:
Então, a diferença
se torna:
Passo 7
Como sabemos que
é contínua em 0, se
, então
. Portanto, sempre que
, temos
.
Passo 8
Isso mostra que para todo
, existe um
(o mesmo da continuidade em 0) tal que
implica
. Ou seja,
é contínua em
.
Resposta
Assim, demonstramos que se
é contínua em 0 e satisfaz
para todo
, então
é contínua em qualquer ponto
da reta real.