Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa discutir a continuidade da função:
Isso está relacionado ao estudo de funções contínuas, onde verificamos se a função não tem “quebras” ou “saltos” no seu gráfico. Para resolver, vamos analisar onde a função pode não ser contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Então, temos:
Substituindo na função:
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador . A função pode não ser definida quando o denominador for zero, ou seja, quando . Portanto, devemos verificar a continuidade em .
Passo 4
Vamos simplificar a função para :
Para , temos:
Então, a função fica:
Passo 5
Agora, analisamos a continuidade em . Uma função é contínua em um ponto se o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função no ponto forem iguais.
Primeiro, calculamos o limite quando se aproxima de -2 pela direita ():
Depois, calculamos o limite quando se aproxima de -2 pela esquerda ():
Passo 6
Como os limites pela direita e pela esquerda em são diferentes (4 e -4), o limite geral em não existe. Além disso, a função não está definida em . Portanto, a função tem uma descontinuidade em .
Resposta
A função é contínua para todo real, exceto em , onde apresenta uma descontinuidade.