Determine os intervalos nos quais a função dada é contínua.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para descobrir em quais intervalos a função
é contínua. Isso está relacionado ao estudo de continuidade de funções na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função está definida, ou seja, onde a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa, já que não dá para tirar raiz de número negativo sem entrar nos números complexos, que não são considerados aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a expressão dentro da raiz seja maior ou igual a zero:
Isso porque a raiz quadrada de um número negativo não é real, e queremos que a função seja definida nos números reais.
Passo 3
Agora, vamos resolver a inequação
. Para isso, vamos encontrar as raízes da equação quadrática correspondente
.
Passo 4
Usando a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Onde
,
, e
.
Então, as raízes são:
Passo 5
Agora que temos as raízes
e
, podemos dividir a linha dos números reais em três intervalos para testar onde a inequação
é verdadeira:
Passo 6
Vamos testar um valor em cada intervalo:
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
Passo 7
Concluímos que a inequação
é verdadeira nos intervalos
e
. Portanto, a função
está contínua nesses intervalos.
Resposta
A função
é contínua para todos os valores de
nos intervalos: