Para cada função abaixo f(x) e para cada a, calcule (quando existir): lim x a^+ f(x), lim x a^- f(x), e lim x a f(x).
f(x)=raizx^2-2 x+1, a=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular três tipos de limites para a função quando se aproxima de . Isso envolve os limites laterais ( e ) e o limite geral ( ). Para resolver, vamos lembrar de como calcular limites e entender o comportamento da função perto do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. Observamos que:
x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2
Então, a função fica:
f(x) = raiz(x - 1)^2 = |x - 1|
Lembrando que a raiz quadrada de um quadrado é o valor absoluto, ou seja, sempre positivo.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é um limite lateral. O limite quando se aproxima de pela direita ( ) significa que estamos considerando valores de maiores que 2, enquanto o limite pela esquerda ( ) considera valores menores que 2. O limite geral existe se e somente se os dois limites laterais forem iguais.

Passo 4

Vamos calcular o limite pela direita ( limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ |x - 1| ):
|x - 1| = x - 1
Como limx to 2^+ (x - 1) = 2 - 1 = 1 está se aproximando de 2 pela direita, , então , e o valor absoluto não altera o sinal:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite pela esquerda ( limx to 2^- f(x) = limx to 2^- |x - 1| ):
|x - 1| = x - 1
Aqui, limx to 2^- (x - 1) = 2 - 1 = 1 está se aproximando de 2 pela esquerda, mas ainda assim (porque e estamos próximos a ele). Portanto, e o valor absoluto continua sendo :
Então:

Passo 6

Finalmente, vamos determinar o limite geral ( limx to 2 f(x) = 1 ):
Como ambos os limites laterais são iguais e valem 1, o limite geral também existe e é igual a esse valor.

Resposta

limx to 2^+ f(x) = 1, limx to 2^- f(x) = 1, limx to 2 f(x) = 1

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