Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
e)
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função
. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo como derivadas para encontrar o domínio, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, valores máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e interseções com os eixos. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para polinômios como
, não há restrições, pois polinômios são definidos para todos os números reais.
Domínio:
(todos os números reais)
Passo 3
Pontos críticos ocorrem onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos encontrar a primeira derivada
:
Simplificando:
Igualando a zero para encontrar os pontos críticos:
Pontos Críticos:
e
Passo 4
Vamos analisar o sinal da primeira derivada
para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
-
Para
: - Escolha
:
- A função está Crescente.
- Escolha
-
Para
: - Escolha
:
- A função está Decrescente.
- Escolha
-
Para
: - Escolha
:
- A função está Crescente.
- Escolha
Intervalos:
- Crescente em
e - Decrescente em
Passo 5
Os valores máximos e mínimos locais ocorrem nos pontos críticos onde a derivada muda de sinal.
-
Em
: - A derivada muda de Crescente para Decrescente.
- Portanto,
é um Ponto de Máximo Local.
-
Em
: - A derivada muda de Decrescente para Crescente.
- Portanto,
é um Ponto de Mínimo Local.
Vamos encontrar os valores de
nesses pontos:
Valores:
- Máximo Local em
- Mínimo Local em
Passo 6
Para analisar a concavidade, precisamos da segunda derivada
:
Vamos encontrar onde
:
Agora, analisamos o sinal de
:
-
Para
: - Escolha
:
- A função é Côncava para Baixo.
- Escolha
-
Para
: - Escolha
:
- A função é Côncava para Cima.
- Escolha
Intervalos:
- Côncava para Baixo em
- Côncava para Cima em
Ponto de Inflexão: em
Passo 7
Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca.
-
Assíntotas Horizontais:
- Para polinômios de grau 3, não existem assíntotas horizontais, já que o limite de
quando tende a é .
- Para polinômios de grau 3, não existem assíntotas horizontais, já que o limite de
-
Assíntotas Verticais:
- Assíntotas verticais ocorrem em funções racionais onde o denominador é zero. Como
é um polinômio, não há denominador, então não há assíntotas verticais.
- Assíntotas verticais ocorrem em funções racionais onde o denominador é zero. Como
Conclusão:
- Nenhuma assíntota horizontal ou vertical.
Passo 8
-
Interseção com o Eixo
: - É o valor de
:
- Ponto de interseção:
- É o valor de
-
Interseção com o Eixo
: - Solucionamos
:
- Então,
ou . - Resolvendo a equação quadrática:
- Aproximadamente:
- Pontos de interseção:
, e
- Solucionamos
Passo 9
Como não posso desenhar aqui, vou descrever:
- A função é um polinômio cúbico com três raízes em
, e . - Tem um máximo local em
e um mínimo local em . - É crescente em
e , e decrescente em . - A concavidade muda em
com ponto de inflexão. - Passa pela origem
.
Resposta
A função
tem:
- Domínio: Todos os reais
. - Pontos Críticos:
(máximo local) e (mínimo local). - Intervalos de Crescimento:
e . - Intervalos de Decrescimento:
. - Valores Extremos Locais: Máximo em
e mínimo em . - Concavidade: Côncava para baixo em
e para cima em com ponto de inflexão em . - Assíntotas: Não há assíntotas horizontais ou verticais.
- Interseções: Com o eixo
em e com o eixo em , e . - Esboço do Gráfico: Descrito no passo anterior.
Exercícios relacionados
Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
b)
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
b)
Resolva o problema de valor inicial
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
c)
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
c)