Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função . A gente vai precisar usar conceitos de cálculo como derivadas para encontrar o domínio, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, valores máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e interseções com os eixos. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para polinômios como , não há restrições, pois polinômios são definidos para todos os números reais.
Domínio: (todos os números reais)

Passo 3

Pontos críticos ocorrem onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos encontrar a primeira derivada :
Simplificando:
Igualando a zero para encontrar os pontos críticos:
Pontos Críticos: e

Passo 4

Vamos analisar o sinal da primeira derivada para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
  1. Para :
    • Escolha :
    • A função está Crescente.
  2. Para :
    • Escolha :
    • A função está Decrescente.
  3. Para :
    • Escolha :
    • A função está Crescente.
Intervalos:
  • Crescente em e
  • Decrescente em

Passo 5

Os valores máximos e mínimos locais ocorrem nos pontos críticos onde a derivada muda de sinal.
  1. Em :
    • A derivada muda de Crescente para Decrescente.
    • Portanto, é um Ponto de Máximo Local.
  2. Em :
    • A derivada muda de Decrescente para Crescente.
    • Portanto, é um Ponto de Mínimo Local.
Vamos encontrar os valores de nesses pontos:
Valores:
  • Máximo Local em
  • Mínimo Local em

Passo 6

Para analisar a concavidade, precisamos da segunda derivada :
Vamos encontrar onde :
Agora, analisamos o sinal de :
  1. Para :
    • Escolha :
    • A função é Côncava para Baixo.
  2. Para :
    • Escolha :
    • A função é Côncava para Cima.
Intervalos:
  • Côncava para Baixo em
  • Côncava para Cima em
Ponto de Inflexão: em

Passo 7

Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca.
  1. Assíntotas Horizontais:
    • Para polinômios de grau 3, não existem assíntotas horizontais, já que o limite de quando tende a é .
  2. Assíntotas Verticais:
    • Assíntotas verticais ocorrem em funções racionais onde o denominador é zero. Como é um polinômio, não há denominador, então não há assíntotas verticais.
Conclusão:
  • Nenhuma assíntota horizontal ou vertical.

Passo 8

  1. Interseção com o Eixo :
    • É o valor de :
    • Ponto de interseção:
  2. Interseção com o Eixo :
    • Solucionamos :
    • Então, ou .
    • Resolvendo a equação quadrática:
    • Aproximadamente:
    • Pontos de interseção: , e

Passo 9

Como não posso desenhar aqui, vou descrever:
  • A função é um polinômio cúbico com três raízes em , e .
  • Tem um máximo local em e um mínimo local em .
  • É crescente em e , e decrescente em .
  • A concavidade muda em com ponto de inflexão.
  • Passa pela origem .

Resposta

A função tem:
  1. Domínio: Todos os reais .
  2. Pontos Críticos: (máximo local) e (mínimo local).
  3. Intervalos de Crescimento: e .
  4. Intervalos de Decrescimento: .
  5. Valores Extremos Locais: Máximo em e mínimo em .
  6. Concavidade: Côncava para baixo em e para cima em com ponto de inflexão em .
  7. Assíntotas: Não há assíntotas horizontais ou verticais.
  8. Interseções: Com o eixo em e com o eixo em , e .
  9. Esboço do Gráfico: Descrito no passo anterior.

Exercícios relacionados

Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
b)
Resolva o problema de valor inicial
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
c)