Resolva o problema de valor inicial

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial com a condição . Esse tipo de problema pertence ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente das que são exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução usando essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos da equação:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação é exata.

Passo 3

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Para encontrar , integramos em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece porque a integral de em relação a pode ter uma “constante” que depende apenas de .

Passo 4

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Para que isso seja verdade para todos os e , devemos ter:
Integrando em relação a :
onde é uma constante.

Passo 5

Agora, substituímos de volta em :
Como , temos que:

Passo 6

Para encontrar a constante , usamos a condição inicial :

Passo 7

Agora que sabemos que , substituímos de volta na equação:
Isolando :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é .

Exercícios relacionados

Verificar se a função é solução da equação diferencial .
Resolva o problema de valor inicial
Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
b)
Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
e)