Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial
com a condição
. Esse tipo de problema pertence ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente das que são exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução usando essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, identificamos os termos da equação:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece porque a integral de
em relação a
pode ter uma “constante” que depende apenas de
.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Para que isso seja verdade para todos os
e
, devemos ter:
Integrando em relação a
:
onde
é uma constante.
Passo 5
Agora, substituímos
de volta em
:
Como
, temos que:
Passo 6
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
:
Passo 7
Agora que sabemos que
, substituímos de volta na equação:
Isolando
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
.
Exercícios relacionados
Verificar se a função
é solução da equação diferencial
.
Resolva o problema de valor inicial
Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
b)
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
b)
Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
e)
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
e)