Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
c)

Passo 1

Ei! Vamos resolver o exercício sobre a função . Vamos analisar vários aspectos dessa função, como domínio, pontos críticos, intervalos de crescimento, máximos e mínimos, concavidade, assíntotas, interseções com os eixos e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, como derivadas e propriedades das funções logarítmicas.

Passo 2

i) Domínio de
Primeiro, precisamos determinar para quais valores de a função está definida. Como temos dois logaritmos, devemos garantir que os argumentos deles sejam positivos.
  1. O interior do primeiro logaritmo, , deve ser positivo:
  2. O argumento do segundo logaritmo, , também deve ser positivo:
Portanto, o domínio de é:

Passo 3

ii) Possíveis pontos críticos
Para encontrar os pontos críticos, vamos calcular a primeira derivada de e igualá-la a zero.
Primeiro, derivamos :
Agora, igualamos a derivada a zero:
Essa equação nunca é verdadeira porque o numerador é sempre e o denominador nunca é zero no domínio definido ( ). Portanto, não há pontos críticos.

Passo 4

iii) Intervalos de crescimento e/ou decrescimento
Analisamos o sinal da primeira derivada :
Sabemos que e , então:
  • é positivo.
  • (do domínio).
Portanto, o denominador é positivo, e o sinal de é negativo.
Como a derivada é negativa em todo o domínio, a função está sempre decrescendo no intervalo .

Passo 5

iv) Possíveis valores máximos e/ou mínimos locais
Como não encontramos pontos críticos na etapa anterior e a função está sempre decrescendo no seu domínio, não há valores máximos ou mínimos locais.

Passo 6

v) Intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
Para analisar a concavidade, vamos calcular a segunda derivada de :
Primeiro, derivamos :
Aplicando a regra do quociente:
Analisamos o sinal de :
  • O denominador é sempre positivo.
  • O numerador é positivo quando , ou seja, . Como no domínio, isso sempre é verdade.
Portanto, em todo o domínio, o que indica que a função é côncava para cima e não possui pontos de inflexão.

Passo 7

vi) Assíntotas horizontais e/ou verticais
  • Assíntotas Verticais: Procuramos valores de que fazem a função tender ao infinito. Observamos os limites nas extremidades do domínio.
    • Quando se aproxima de :
      Portanto, não há assíntota vertical em .
    • Quando se aproxima de :
      Portanto, há uma assíntota vertical em .
  • Assíntotas Horizontais: Analisamos o comportamento quando tende aos limites do domínio.
    • Quando , .
    • Quando , .
    Não há assíntotas horizontais.

Passo 8

vii) Possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
  • Interseção com o eixo ( ):
    Como o domínio inicia em , não há interseção com o eixo .
  • Interseções com o eixo ( ):
    Encontramos tal que:
    Portanto, há uma interseção no ponto .

Passo 9

viii) Esboço do gráfico das funções
Com base nas análises anteriores:
  • Domínio:
  • Crescimento: Sempre decrescente
  • Concavidade: Côncava para cima
  • Assíntota vertical:
  • Interseção com o eixo :
O gráfico começa no alto quando se aproxima de , desce passando pelo ponto e continua decrescendo até se aproximar da assíntota vertical em .

Resposta

Concluímos que a função está definida para , é sempre decrescente e côncava para cima, não possui pontos críticos nem máximos/minimos locais, tem uma assíntota vertical em , intersecta o eixo no ponto , e seu gráfico decresce continuamente nesse intervalo.

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
e)
Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
d)
Calcule as seguintes integrais: