Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
c)
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
c)
Passo 1
Ei! Vamos resolver o exercício sobre a função
. Vamos analisar vários aspectos dessa função, como domínio, pontos críticos, intervalos de crescimento, máximos e mínimos, concavidade, assíntotas, interseções com os eixos e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, como derivadas e propriedades das funções logarítmicas.
Passo 2
i) Domínio de
Primeiro, precisamos determinar para quais valores de
a função está definida. Como temos dois logaritmos, devemos garantir que os argumentos deles sejam positivos.
- O interior do primeiro logaritmo,
, deve ser positivo: - O argumento do segundo logaritmo,
, também deve ser positivo:
Portanto, o domínio de
é:
Passo 3
ii) Possíveis pontos críticos
Para encontrar os pontos críticos, vamos calcular a primeira derivada de
e igualá-la a zero.
Primeiro, derivamos
:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Essa equação nunca é verdadeira porque o numerador é sempre
e o denominador nunca é zero no domínio definido (
). Portanto, não há pontos críticos.
Passo 4
iii) Intervalos de crescimento e/ou decrescimento
Analisamos o sinal da primeira derivada
:
Sabemos que
e
, então:
-
é positivo. -
(do domínio).
Portanto, o denominador
é positivo, e o sinal de
é negativo.
Como a derivada é negativa em todo o domínio, a função
está sempre decrescendo no intervalo
.
Passo 5
iv) Possíveis valores máximos e/ou mínimos locais
Como não encontramos pontos críticos na etapa anterior e a função está sempre decrescendo no seu domínio, não há valores máximos ou mínimos locais.
Passo 6
v) Intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
Para analisar a concavidade, vamos calcular a segunda derivada de
:
Primeiro, derivamos
:
Aplicando a regra do quociente:
Analisamos o sinal de
:
- O denominador
é sempre positivo. - O numerador
é positivo quando , ou seja, . Como no domínio, isso sempre é verdade.
Portanto,
em todo o domínio, o que indica que a função é côncava para cima e não possui pontos de inflexão.
Passo 7
vi) Assíntotas horizontais e/ou verticais
-
Assíntotas Verticais: Procuramos valores de
que fazem a função tender ao infinito. Observamos os limites nas extremidades do domínio. -
Quando
se aproxima de : Portanto, não há assíntota vertical em. -
Quando
se aproxima de : Portanto, há uma assíntota vertical em.
-
-
Assíntotas Horizontais: Analisamos o comportamento quando
tende aos limites do domínio. - Quando
, . - Quando
, .
Não há assíntotas horizontais. - Quando
Passo 8
vii) Possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
-
Interseção com o eixo
( ): Como o domínio inicia em, não há interseção com o eixo . -
Interseções com o eixo
( ): Encontramostal que: Portanto, há uma interseção no ponto.
Passo 9
viii) Esboço do gráfico das funções
Com base nas análises anteriores:
- Domínio:
- Crescimento: Sempre decrescente
- Concavidade: Côncava para cima
- Assíntota vertical:
- Interseção com o eixo
:
O gráfico começa no alto quando
se aproxima de
, desce passando pelo ponto
e continua decrescendo até se aproximar da assíntota vertical em
.
Resposta
Concluímos que a função
está definida para
, é sempre decrescente e côncava para cima, não possui pontos críticos nem máximos/minimos locais, tem uma assíntota vertical em
, intersecta o eixo
no ponto
, e seu gráfico decresce continuamente nesse intervalo.
Exercícios relacionados
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
e)
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
e)
Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
d)
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
d)
Calcule as seguintes integrais: