Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-1)^n arctg nn^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série juntos! O enunciado pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A série que temos é:
Vamos precisar entender sobre convergência de séries, séries alternadas e convergência absolutamente e condicionalmente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos ignorar o sinal alternado e ver se a série formada pelos valores absolutos converge:
Sabemos que é a função arco-tangente de sumn=1^infty | (-1)^n arctg nn^2+1 | = sumn=1^infty arctg nn^2+1 , que para valores grandes de se aproxima de . Então, para grandes , .

Passo 3

Agora, vamos comparar a série com uma série cuja convergência já conhecemos. Como é aproximadamente constante para grandes , podemos comparar com , que é uma série p com e sabemos que converge.

Passo 4

Usando o Teste da Comparação, já que para todo grande, a série também converge. Portanto, a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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