Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série juntos! O enunciado pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A série que temos é:
Vamos precisar entender sobre convergência de séries, séries alternadas e convergência absolutamente e condicionalmente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos ignorar o sinal alternado e ver se a série formada pelos valores absolutos converge:
Sabemos que é a função arco-tangente de , que para valores grandes de se aproxima de . Então, para grandes , .

Passo 3

Agora, vamos comparar a série com uma série cuja convergência já conhecemos. Como é aproximadamente constante para grandes , podemos comparar com , que é uma série p com e sabemos que converge.

Passo 4

Usando o Teste da Comparação, já que para todo grande, a série também converge. Portanto, a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados

Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
e)
Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
b)
Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
c)
Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
d)