Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
b)
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função
. O que a gente precisa fazer inclui encontrar o domínio da função, identificar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, valores máximos ou mínimos locais, concavidade, assíntotas, interseções com os eixos e, por fim, esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e análise de funções.
Passo 2
Dominio de
:
Primeiro, precisamos encontrar o domínio da função, ou seja, para quais valores de
a função está definida. Observamos que temos uma raiz quadrada:
Dentro da raiz, a expressão
deve ser maior ou igual a zero, porque não podemos tirar raiz quadrada de números negativos. Mas, como
sempre é positivo ou zero,
para todo
.
Conclusão: O domínio de
é todos os números reais, ou seja,
.
Passo 3
Pontos Críticos:
Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada de
e ver onde ela é zero ou indefinida.
Vamos derivar:
Agora, vamos encontrar onde
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Elevando ao quadrado:
Isso não é possível, portanto, não há pontos onde a derivada é zero. Também não há pontos onde a derivada é indefinida dentro do domínio.
Conclusão: Não há pontos críticos na função
.
Passo 4
Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
Vamos analisar o sinal da derivada
.
Simplificando:
Queremos saber onde
(crescimento) e onde
(decrescimento).
Note que
está sempre menor que 1, pois
. Então:
Conclusão: A função
está sempre decrescendo em todo o seu domínio.
Passo 5
Valores Máximos e Mínimos Locais:
Como a função está sempre decrescendo e não tem pontos críticos, não há máximos ou mínimos locais.
Conclusão: Não existem valores máximos ou mínimos locais para
.
Passo 6
Concavidade e Pontos de Inflexão:
Para analisar a concavidade, precisamos da segunda derivada
.
Primeiro, temos:
Derivando novamente:
Observamos que
para todo
, o que indica que a função é côncava para cima em todo o domínio.
Conclusão: A função é côncava para cima em
e não possui pontos de inflexão.
Passo 7
Assíntotas Horizontais e Verticais:
Assíntotas Verticais:
Para assíntotas verticais, verificamos se a função tende ao infinito em algum valor de , mas como o domínio é todo real e a função está definida em todos os pontos, não há assíntotas verticais.
Para assíntotas verticais, verificamos se a função tende ao infinito em algum valor de
Assíntotas Horizontais:
Vamos analisar o limite de quando
tende ao infinito:
Vamos analisar o limite de
O mesmo vale para
:
Conclusão: A função possui uma assíntota horizontal em
quando
e não h�� assíntotas verticais.
Passo 8
Interseções com os Eixos Coordenados:
Interseção com o eixo
:
Para :
Para
Então, a interseção com o eixo
é
.
Interseção com o eixo
:
Resolvemos :
Resolvemos
Como
, a única solução possível é
, que não existe. Portanto, não há interseção com o eixo
.
Conclusão: A função intercepta o eixo
no ponto
e não intercepta o eixo
.
Passo 9
Esboço do Gráfico:
Com todas as informações:
- Domínio:
- Derivada negativa: função sempre decrescendo
- Concavidade para cima
- Assíntota horizontal em
- Ponto de interseção no
:
O gráfico começa no ponto
, decresce suavemente, se aproximando da assíntota horizontal
conforme
vai para
.
Resposta
A função
está definida para todos os números reais, não possui pontos críticos, está sempre decrescendo, não tem máximos ou mínimos locais, é côncava para cima em todo o domínio, possui uma assíntota horizontal em
, intercepta o eixo
no ponto
e não intercepta o eixo
. O gráfico começa no ponto
, decresce suavemente e se aproxima da assíntota horizontal conforme
aumenta.
Exercícios relacionados
Resolva o problema de valor inicial
Verificar se a função
é solução da equação diferencial
.
Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
e)
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
e)
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.