Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função . O que a gente precisa fazer inclui encontrar o domínio da função, identificar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, valores máximos ou mínimos locais, concavidade, assíntotas, interseções com os eixos e, por fim, esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e análise de funções.

Passo 2

Dominio de :
Primeiro, precisamos encontrar o domínio da função, ou seja, para quais valores de a função está definida. Observamos que temos uma raiz quadrada:
Dentro da raiz, a expressão deve ser maior ou igual a zero, porque não podemos tirar raiz quadrada de números negativos. Mas, como sempre é positivo ou zero, para todo .
Conclusão: O domínio de é todos os números reais, ou seja, .

Passo 3

Pontos Críticos:
Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada de e ver onde ela é zero ou indefinida.
Vamos derivar:
Agora, vamos encontrar onde :
Multiplicando ambos os lados por :
Elevando ao quadrado:
Isso não é possível, portanto, não há pontos onde a derivada é zero. Também não há pontos onde a derivada é indefinida dentro do domínio.
Conclusão: Não há pontos críticos na função .

Passo 4

Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
Vamos analisar o sinal da derivada .
Simplificando:
Queremos saber onde (crescimento) e onde (decrescimento).
Note que está sempre menor que 1, pois . Então:
Conclusão: A função está sempre decrescendo em todo o seu domínio.

Passo 5

Valores Máximos e Mínimos Locais:
Como a função está sempre decrescendo e não tem pontos críticos, não há máximos ou mínimos locais.
Conclusão: Não existem valores máximos ou mínimos locais para .

Passo 6

Concavidade e Pontos de Inflexão:
Para analisar a concavidade, precisamos da segunda derivada .
Primeiro, temos:
Derivando novamente:
Observamos que para todo , o que indica que a função é côncava para cima em todo o domínio.
Conclusão: A função é côncava para cima em e não possui pontos de inflexão.

Passo 7

Assíntotas Horizontais e Verticais:
Assíntotas Verticais:
Para assíntotas verticais, verificamos se a função tende ao infinito em algum valor de , mas como o domínio é todo real e a função está definida em todos os pontos, não há assíntotas verticais.
Assíntotas Horizontais:
Vamos analisar o limite de quando tende ao infinito:
O mesmo vale para :
Conclusão: A função possui uma assíntota horizontal em quando e não h�� assíntotas verticais.

Passo 8

Interseções com os Eixos Coordenados:
Interseção com o eixo :
Para :
Então, a interseção com o eixo é .
Interseção com o eixo :
Resolvemos :
Como , a única solução possível é , que não existe. Portanto, não há interseção com o eixo .
Conclusão: A função intercepta o eixo no ponto e não intercepta o eixo .

Passo 9

Esboço do Gráfico:
Com todas as informações:
  • Domínio:
  • Derivada negativa: função sempre decrescendo
  • Concavidade para cima
  • Assíntota horizontal em
  • Ponto de interseção no :
O gráfico começa no ponto , decresce suavemente, se aproximando da assíntota horizontal conforme vai para .

Resposta

A função está definida para todos os números reais, não possui pontos críticos, está sempre decrescendo, não tem máximos ou mínimos locais, é côncava para cima em todo o domínio, possui uma assíntota horizontal em , intercepta o eixo no ponto e não intercepta o eixo . O gráfico começa no ponto , decresce suavemente e se aproxima da assíntota horizontal conforme aumenta.

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Resolva o problema de valor inicial
Verificar se a função é solução da equação diferencial .
Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
e)
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.