Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
d)
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função
. A gente vai analisar várias propriedades dessa função, como domínio, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, assíntotas, interseções com os eixos e até desenhar um esboço do gráfico. Pra isso, vamos precisar de conceitos de cálculo como derivadas e entendimento de comportamento de funções exponenciais.
Passo 2
i) Domínio de
Primeiro, vamos descobrir onde a função está definida. Olhando para
, temos que o denominador
não pode ser zero porque não dá pra dividir por zero. Então:
Portanto, o domínio de
é todos os números reais menos
.
Passo 3
ii) Possíveis pontos críticos
Pontos críticos acontecem onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos derivar
:
A derivada nunca é zero porque a exponencial nunca é zero e
também é sempre positivo. Portanto, não há pontos críticos.
Passo 4
iii) Intervalos de crescimento e decrescimento
Para ver onde a função cresce ou decresce, olhamos o sinal da derivada
.
Como
e
para todo
, então
sempre que a função está definida. Isso significa que a função está sempre crescendo.
Passo 5
iv) Possíveis valores máximos e mínimos locais
Como a função está sempre crescendo e não tem pontos críticos (onde a derivada seria zero), não há máximos ou mínimos locais.
Passo 6
v) Intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
Para analisar a concavidade, precisamos da segunda derivada
. Vamos derivar
:
Simplificando:
Para descobrir onde a concavidade muda, igualamos
a zero:
Então, a concavidade muda em
. Para os intervalos:
- Para
, , então : concava para baixo. - Para
, , então : concava para cima.
Portanto, há um ponto de inflexão em
.
Passo 7
vi) Assíntotas horizontais e verticais
Assíntotas verticais:
A função não está definida em
. Vamos ver o comportamento quando
se aproxima de
:
- Quando
, , então . - Quando
, , então .
Isso indica uma assíntota vertical em
.
Assíntotas horizontais:
Vamos analisar o comportamento quando
e
:
- Quando
, , então . - Quando
, , então .
Portanto, existe uma assíntota horizontal em
.
Passo 8
vii) Possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
Interseção com o eixo
:
Para
:
Então, a função corta o eixo
em
.
Interseção com o eixo
:
Para
:
A exponencial nunca é zero, então não há interseção com o eixo
.
Resposta
A função
está definida para todos os
exceto
. Ela é sempre crescente e não possui máximos ou mínimos locais. A concavidade muda em
, sendo concava para baixo antes e para cima depois desse ponto. Há uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
. A função intercepta o eixo
no ponto
e não corta o eixo
. O esboço do gráfico reflete esses comportamentos, com a função aproximando-se de
nos extremos e comportando-se conforme descrito nos pontos críticos.
Exercícios relacionados
Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
c)
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
c)
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais: