Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função . A gente vai analisar várias propriedades dessa função, como domínio, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, assíntotas, interseções com os eixos e até desenhar um esboço do gráfico. Pra isso, vamos precisar de conceitos de cálculo como derivadas e entendimento de comportamento de funções exponenciais.

Passo 2

i) Domínio de
Primeiro, vamos descobrir onde a função está definida. Olhando para , temos que o denominador não pode ser zero porque não dá pra dividir por zero. Então:
Portanto, o domínio de é todos os números reais menos .

Passo 3

ii) Possíveis pontos críticos
Pontos críticos acontecem onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos derivar :
A derivada nunca é zero porque a exponencial nunca é zero e também é sempre positivo. Portanto, não há pontos críticos.

Passo 4

iii) Intervalos de crescimento e decrescimento
Para ver onde a função cresce ou decresce, olhamos o sinal da derivada .
Como e para todo , então sempre que a função está definida. Isso significa que a função está sempre crescendo.

Passo 5

iv) Possíveis valores máximos e mínimos locais
Como a função está sempre crescendo e não tem pontos críticos (onde a derivada seria zero), não há máximos ou mínimos locais.

Passo 6

v) Intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
Para analisar a concavidade, precisamos da segunda derivada . Vamos derivar :
Simplificando:
Para descobrir onde a concavidade muda, igualamos a zero:
Então, a concavidade muda em . Para os intervalos:
  • Para , , então : concava para baixo.
  • Para , , então : concava para cima.
Portanto, há um ponto de inflexão em .

Passo 7

vi) Assíntotas horizontais e verticais
Assíntotas verticais:
A função não está definida em . Vamos ver o comportamento quando se aproxima de :
  • Quando , , então .
  • Quando , , então .
Isso indica uma assíntota vertical em .
Assíntotas horizontais:
Vamos analisar o comportamento quando e :
  • Quando , , então .
  • Quando , , então .
Portanto, existe uma assíntota horizontal em .

Passo 8

vii) Possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
Interseção com o eixo :
Para :
Então, a função corta o eixo em .
Interseção com o eixo :
Para :
A exponencial nunca é zero, então não há interseção com o eixo .

Resposta

A função está definida para todos os exceto . Ela é sempre crescente e não possui máximos ou mínimos locais. A concavidade muda em , sendo concava para baixo antes e para cima depois desse ponto. Há uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em . A função intercepta o eixo no ponto e não corta o eixo . O esboço do gráfico reflete esses comportamentos, com a função aproximando-se de nos extremos e comportando-se conforme descrito nos pontos críticos.
Esboço do Gráfico

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Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
c)
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais: