Calcule as seguintes integrais:
43 integral tg^-1 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando a função arco-tangente ( ). Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, vamos escolher e . Assim, precisamos encontrar e .

Passo 3

Calculando u = tan^-1 x Rightarrow du = 11 + x^2 dx :
dv = dx Rightarrow v = x
E integrando para encontrar :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral tan^-1 x , dx = x cdot tan^-1 x - integral x1 + x^2 dx
Agora, precisamos resolver a integral .

Passo 5

Para resolver 12 dw = x dx Rightarrow integral x1 + x^2 dx = 12 integral 1w dw = 12 ln |w| + C = 12 ln (1 + x^2) + C , vamos fazer uma substituição simples. Seja , então . Adaptando, temos:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral tan^-1 x , dx = x cdot tan^-1 x - 12 ln (1 + x^2) + C
Agora, não se esqueça do fator 43 que estava multiplicando a integral inicial.

Resposta

43 cdot integral tan^-1 x , dx = 43 ( x cdot tan^-1 x - 12 ln (1 + x^2) ) + C

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