Verificar se a função y = x - 1.5 x^2 é solução da equação diferencial y'(2 x - 3 x^2) - y(2 - 6 x) = 0.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para verificar se a função é solução da equação diferencial . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, que envolvem derivadas de funções. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e substituir tanto quanto na equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação a . A função é .
Para derivar, lembramos que:
Aplicando isso:
Então, a derivada de é:

Passo 3

Agora que temos e , vamos substituir esses valores na equação diferencial:
Substituindo:

Passo 4

Vamos agora simplificar cada parte da expressão:
Primeiro, expandir :
Somando tudo:
Agora, expandir :
Somando tudo:

Passo 5

Agora, substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Todos os termos se cancelam:

Resposta

Sim, a função é uma solução da equação diferencial dada.

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