Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
f)

Passo 1

Vamos analisar a função . Nosso objetivo é estudar várias características dessa função, como domínio, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, valores máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e interseções com os eixos coordenados. Para isso, precisaremos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e análise de gráficos.

Passo 2

i) Domínio de
Para encontrar o domínio da função , precisamos identificar os valores de para os quais a função está definida.
A expressão só está definida quando o radicando é maior ou igual a zero:
Portanto, o domínio de é todos os números reais maiores ou iguais a :

Passo 3

ii) Possíveis pontos críticos
Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos encontrar a derivada de :
Primeiro, reescrevemos como para facilitar a derivação:
Usando a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Portanto, é um ponto crítico.

Passo 4

iii) Intervalos de crescimento e decrescimento
Analisamos o sinal da derivada :
O denominador é sempre positivo para . Então, o sinal de depende apenas do numerador :
  • Quando , : a função está crescendo.
  • Quando , : a função está decrescendo.

Passo 5

iv) Valores máximos e mínimos locais
No ponto crítico :
  • Para , a função está decrescendo.
  • Para , a função está crescendo.
Como a função passa de decrescente para crescente em , há um mínimo local nesse ponto.
Calculamos :
Portanto, é um ponto de mínimo local.

Passo 6

v) Intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
Para determinar a concavidade, precisamos da segunda derivada .
Primeiro, lembramos que:
Derivando novamente:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Analisamos o sinal de :
O denominador é positivo para . Então, o sinal de depende do numerador :
  • Quando , : concavidade para cima.
  • Quando , : concavidade para baixo.
Portanto, há um ponto de inflexão em .

Passo 7

vi) Assíntotas horizontais e verticais
  • Assíntotas Verticais: São valores de onde a função tende ao infinito. Observamos a função . O denominador não existe porque a função não tem frações, então não há assíntotas verticais.
  • Assíntotas Horizontais: Analisamos o limite quando tende ao infinito:
E quando tende a :
Portanto, não há assíntotas horizontais.

Passo 8

vii) Possíveis interseções com os eixos coordenados
  • Interseção com o eixo : Ocorre quando :
Portanto, a interseção com o eixo é no ponto .
  • Interseção com o eixo : Ocorre quando :
Portanto, a interseção com o eixo também é no ponto .

Passo 9

viii) Esboço do gráfico da função
Com base nas análises anteriores:
  • Dominio:
  • Ponto crítico: com mínimo local
  • Concavidade:
    • Concava para baixo em
    • Concava para cima em
  • Interseções:
  • Comportamento:
    • Decrescente em
    • Crescente em
O gráfico começa em , desce até o ponto , passa pelo ponto de inflexão em , e então cresce para o infinito conforme aumenta.

Resposta

A função tem domínio , um ponto crítico em correspondente a um mínimo local em , está decrescendo em e crescendo em . Possui concavidade para baixo em e para cima em com um ponto de inflexão em . Não há assíntotas, e a função intercepta os eixos nos pontos . O esboço do gráfico segue essas características, iniciando em , atingindo o mínimo em e crescendo para a direita.

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