Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
f)
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
f)
Passo 1
Vamos analisar a função
. Nosso objetivo é estudar várias características dessa função, como domínio, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, valores máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e interseções com os eixos coordenados. Para isso, precisaremos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e análise de gráficos.
Passo 2
i) Domínio de
Para encontrar o domínio da função
, precisamos identificar os valores de
para os quais a função está definida.
A expressão
só está definida quando o radicando
é maior ou igual a zero:
Portanto, o domínio de
é todos os números reais maiores ou iguais a
:
Passo 3
ii) Possíveis pontos críticos
Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos encontrar a derivada de
:
Primeiro, reescrevemos
como
para facilitar a derivação:
Usando a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Portanto,
é um ponto crítico.
Passo 4
iii) Intervalos de crescimento e decrescimento
Analisamos o sinal da derivada
:
O denominador
é sempre positivo para
. Então, o sinal de
depende apenas do numerador
:
- Quando
, : a função está crescendo. - Quando
, : a função está decrescendo.
Passo 5
iv) Valores máximos e mínimos locais
No ponto crítico
:
- Para
, a função está decrescendo. - Para
, a função está crescendo.
Como a função passa de decrescente para crescente em
, há um mínimo local nesse ponto.
Calculamos
:
Portanto,
é um ponto de mínimo local.
Passo 6
v) Intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
Para determinar a concavidade, precisamos da segunda derivada
.
Primeiro, lembramos que:
Derivando novamente:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Analisamos o sinal de
:
O denominador é positivo para
. Então, o sinal de
depende do numerador
:
- Quando
, : concavidade para cima. - Quando
, : concavidade para baixo.
Portanto, há um ponto de inflexão em
.
Passo 7
vi) Assíntotas horizontais e verticais
-
Assíntotas Verticais: São valores de
onde a função tende ao infinito. Observamos a função . O denominador não existe porque a função não tem frações, então não há assíntotas verticais. -
Assíntotas Horizontais: Analisamos o limite quando
tende ao infinito:
E quando
tende a
:
Portanto, não há assíntotas horizontais.
Passo 8
vii) Possíveis interseções com os eixos coordenados
- Interseção com o eixo
: Ocorre quando :
Portanto, a interseção com o eixo
é no ponto
.
- Interseção com o eixo
: Ocorre quando :
Portanto, a interseção com o eixo
também é no ponto
.
Passo 9
viii) Esboço do gráfico da função
Com base nas análises anteriores:
- Dominio:
- Ponto crítico:
com mínimo local - Concavidade:
- Concava para baixo em
- Concava para cima em
- Concava para baixo em
- Interseções:
- Comportamento:
- Decrescente em
- Crescente em
- Decrescente em
O gráfico começa em
, desce até o ponto
, passa pelo ponto de inflexão em
, e então cresce para o infinito conforme
aumenta.
Resposta
A função
tem domínio
, um ponto crítico em
correspondente a um mínimo local em
, está decrescendo em
e crescendo em
. Possui concavidade para baixo em
e para cima em
com um ponto de inflexão em
. Não há assíntotas, e a função intercepta os eixos nos pontos
. O esboço do gráfico segue essas características, iniciando em
, atingindo o mínimo em
e crescendo para a direita.
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7.
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