Calcule as seguintes integrais:
21 cdot integral0^pi6 t cdot sen 2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a integral definida de de 0 até e depois multiplicar o resultado por 21. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando a gente tem o produto de duas funções diferentes. Então, vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto para derivadas e é dada pela fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a gente precisa escolher quais partes da nossa integral vão ser e . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples quando a gente diferencia, e como a parte que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 3

No nosso caso, temos . Vamos escolher:
Agora, vamos calcular u = t e dv = sen(2t) , dt e .

Passo 4

Calculando du = ddt(t) , dt = 1 , dt :
v = integral sen(2t) , dt
E para encontrar v = -12 cos(2t) , vamos integrar :
A integral de é , então:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo integral t cdot sen(2t) , dt = t cdot (-12 cos(2t)) - integral (-12 cos(2t)) cdot 1 , dt , = -t2 cos(2t) + 12 integral cos(2t) , dt , :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral restante:
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Agora, temos a antiderivada. Vamos calcular o valor da integral definida de 0 até [ -t2 cos(2t) + 14 sen(2t) ]0^pi6 :
Substituindo - pi62 cos(2pi6) + 14 sen(2pi6) :
Simplificando:
Sabemos que - pi12 cos(pi3) + 14 sen(pi3) e , então:
- pi12 cdot 12 + 14 cdot raiz32 = -pi24 + raiz38
Agora, substituindo - 02 cos(0) + 14 sen(0) = 0 + 0 = 0 :
Então, o valor da integral definida é:
( -pi24 + raiz38 ) - 0 = -pi24 + raiz38

Passo 8

Por fim, lembrando que o enunciado pede para multiplicar esse resultado por 21:
21 cdot ( -pi24 + raiz38 ) = -21pi24 + 21raiz38
Simplificando as frações:
- 7pi8 + 21raiz38 = 21raiz3 - 7pi8

Resposta

O valor da expressão é .

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