Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a integral definida de de 0 até
e depois multiplicar o resultado por 21. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando a gente tem o produto de duas funções diferentes. Então, vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto para derivadas e é dada pela fórmula:
Aqui, a gente precisa escolher quais partes da nossa integral vão ser
e
. Geralmente, escolhemos
como a parte que fica mais simples quando a gente diferencia, e
como a parte que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 3
No nosso caso, temos . Vamos escolher:
Agora, vamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando
:
E para encontrar
, vamos integrar
:
A integral de é
, então:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
,
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral restante:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Agora, temos a antiderivada. Vamos calcular o valor da integral definida de 0 até
:
Substituindo
:
Simplificando:
Sabemos que
e , então:
Agora, substituindo
:
Então, o valor da integral definida é:
Passo 8
Por fim, lembrando que o enunciado pede para multiplicar esse resultado por 21:
Simplificando as frações:
Resposta
O valor da expressão é
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
7.
7.
Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
f)
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
f)
Calcule as seguintes integrais:
4.
4.
(a)