Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a integral definida de de 0 até e depois multiplicar o resultado por 21. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando a gente tem o produto de duas funções diferentes. Então, vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto para derivadas e é dada pela fórmula:
Aqui, a gente precisa escolher quais partes da nossa integral vão ser e . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples quando a gente diferencia, e como a parte que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 3

No nosso caso, temos . Vamos escolher:
Agora, vamos calcular e .

Passo 4

Calculando :
E para encontrar , vamos integrar :
A integral de é , então:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo , , :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral restante:
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Agora, temos a antiderivada. Vamos calcular o valor da integral definida de 0 até :
Substituindo :
Simplificando:
Sabemos que e , então:
Agora, substituindo :
Então, o valor da integral definida é:

Passo 8

Por fim, lembrando que o enunciado pede para multiplicar esse resultado por 21:
Simplificando as frações:

Resposta

O valor da expressão é .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
7.
Para cada função dada abaixo, pede-se:
i)dominio de
ii) possíveis pontos críticos
iii) intervalos de crescimento e ou decrescimento
iv)possíveis valores máximos e ou mínimos locais
v)intervalos de concavidade e possíveis pontos de inflexão
vi)assíntotas horizontais e ou verticais, se houver
vii) possíveis interseções do gráfico com os eixos coordenados
viii)fazer um esboço do gráfico das funções
f)
Calcule as seguintes integrais:
4.
Calcule as segmintes integrais:
(a)