Para cada função dada, calcule
para o valor dado de
, usando ainda a definição de derivada.
$(e)
;
$(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função usando a definição de derivada. A função dada é
e queremos encontrar
. Para isso, vamos precisar entender a definição de derivada, que envolve limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de
no ponto
é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite dessa fração quando
se aproxima de zero.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição para a função e o ponto dados. Substituindo
e
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão da derivada:
Vamos simplificar o numerador:
Passo 6
Expande-se
usando a fórmula do cubo da soma:
Substituindo de volta:
Passo 7
Agora nossa expressão para a derivada fica:
Podemos simplificar dividindo todo o numerador por
:
Passo 8
Finalmente, calculamos o limite quando
tende a zero: