Para cada função dada, calcule f'(a) para o valor dado de a, usando ainda a definição de derivada.
$(e) e;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função usando a definição de derivada. A função dada é e queremos encontrar . Para isso, vamos precisar entender a definição de derivada, que envolve limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de no ponto é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite dessa fração quando se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição para a função e o ponto dados. Substituindo e , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular e :

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão da derivada:
Vamos simplificar o numerador:

Passo 6

Expande-se usando a fórmula do cubo da soma:
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora nossa expressão para a derivada fica:
Podemos simplificar dividindo todo o numerador por :

Passo 8

Finalmente, calculamos o limite quando tende a zero:

Resposta

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