Determine a solução geral das equações:
(b) ddot(y) - 7 dot(y) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender sobre equações lineares homogêneas e reforçar o uso da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais simples: . Aqui, representa a segunda derivada de y em relação ao tempo, e é a primeira derivada.

Passo 3

Como a equação é linear e homogênea, vamos usar a equação característica para encontrar a solução geral. A equação característica é obtida substituindo na equação original, onde r é um número que vamos determinar.

Passo 4

Substituindo na equação , temos:
Podemos fatorar (que nunca é zero):
Isso nos dá a equação característica:

Passo 5

Resolvendo a equação característica , fatoramos:
Portanto, as raízes são e .

Passo 6

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz. Assim:
Simplificando, já que :

Resposta

A solução geral é
onde e são constantes arbitrárias.

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