Determine a solução geral das equações:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender sobre equações lineares homogêneas e reforçar o uso da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais simples:
. Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação ao tempo, e
é a primeira derivada.
Passo 3
Como a equação é linear e homogênea, vamos usar a equação característica para encontrar a solução geral. A equação característica é obtida substituindo
na equação original, onde
é um número que vamos determinar.
Passo 4
Substituindo
na equação
, temos:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Isso nos dá a equação característica:
Passo 5
Resolvendo a equação característica
, fatoramos:
Portanto, as raízes são
e
.
Passo 6
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz. Assim:
Simplificando, já que
:
Resposta
A solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
j)
Para cada função dada, calcule
para o valor dado de
, usando ainda a definição de derivada.
$(e) ;
$(e)
(a) Mostre que qualquer função da forma
satisfaz a equação diferencial
.