Para cada função dada, calcule
para o valor dado de
, usando ainda a definição de derivada.
$(f)
.
$(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função
no ponto
usando a definição de derivada. Isso faz parte do estudo do cálculo diferencial, onde aprendemos como encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico. Para isso, vamos usar a definição de derivada, que é fundamental para entender como as funções mudam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
no ponto
é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite da diferença das funções dividida por
quando
tende a zero.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função
no ponto
. Primeiro, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na definição da derivada:
Passo 5
Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do numerador, que é
:
Passo 6
Multiplicando os numeradores e denominadores:
Passo 7
Simplificando
no numerador e denominador:
Passo 8
Agora, podemos substituir
diretamente, já que o denominador não será zero:
Resposta
Portanto, a derivada de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
f)
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto indicado:
$(b) ;
$(b)
k)
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
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