Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
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Passo 1
Beleza, vamos analisar a questão que pede para verificar se a função dada é derivável no ponto
. A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente o conceito de derivabilidade de funções em pontos específicos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável em um ponto e calcular as derivadas laterais da função no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função é contínua no ponto
. Uma função precisa ser contínua em um ponto para ser derivável lá. A função dada é:
Vamos ver os limites à esquerda e à direita de
:
- Limite pela esquerda (
): - Limite pela direita (
):
Como ambos os limites são iguais a
, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda em
. A derivada à esquerda é o limite da taxa de variação da função conforme
se aproxima de 0 pelo lado negativo.
Para
,
, uma constante. A derivada de uma constante é 0. Então:
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada pela direita em
. A derivada à direita é o limite da taxa de variação da função conforme
se aproxima de 0 pelo lado positivo.
Para
,
. A derivada dessa função é:
Portanto:
Passo 5
Por fim, comparamos as derivadas à esquerda e à direita:
Como as derivadas laterais são diferentes (
), a função não é derivável em
.
Resposta
A função não é derivável no ponto
.
Exercícios relacionados
k)
Para cada função dada, calcule
para o valor dado de
, usando ainda a definição de derivada.
$(f) .
$(f)
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(k) ;
$(k)
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(q) ;
$(q)