Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto indicado:

Passo 1

Beleza, vamos analisar a questão que pede para verificar se a função dada é derivável no ponto . A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente o conceito de derivabilidade de funções em pontos específicos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável em um ponto e calcular as derivadas laterais da função no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função é contínua no ponto . Uma função precisa ser contínua em um ponto para ser derivável lá. A função dada é:
Vamos ver os limites à esquerda e à direita de :
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
Como ambos os limites são iguais a , a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda em . A derivada à esquerda é o limite da taxa de variação da função conforme se aproxima de 0 pelo lado negativo.
Para , , uma constante. A derivada de uma constante é 0. Então:

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada pela direita em . A derivada à direita é o limite da taxa de variação da função conforme se aproxima de 0 pelo lado positivo.
Para , . A derivada dessa função é:
Portanto:

Passo 5

Por fim, comparamos as derivadas à esquerda e à direita:
Como as derivadas laterais são diferentes ( ), a função não é derivável em .

Resposta

A função não é derivável no ponto .

Exercícios relacionados

k)
Para cada função dada, calcule para o valor dado de , usando ainda a definição de derivada.
$(f) .
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto indicado:
$(k) ;
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto indicado:
$(q) ;