Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto indicado:
$(b) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Isso envolve entender um pouco de cálculo, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos confirmar se o ponto realmente pertence ao gráfico da função . Para isso, substituímos na função e verificamos o valor de .
Como , o ponto está correto.

Passo 3

Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos saber a inclinação dessa reta no ponto . A inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função no ponto considerado. Vamos calcular a derivada de .
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Em seguida, avaliamos a derivada no ponto para encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto.
Então, a inclinação da reta tangente é 4.

Passo 5

Agora que temos a inclinação da reta, podemos usar a fórmula da equação da reta tangente:
Onde é o ponto de tangência, que no nosso caso é , e é a inclinação que encontramos.
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma mais conhecida, que é a forma :
Agora, somamos 4 aos dois lados:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é .

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f)
Para cada função dada, calcule para o valor dado de , usando ainda a definição de derivada.
$(f) .