Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto a indicado:
$(g) g.

Passo 1

Então, o exercício pede para verificar se a função é derivável no ponto . Vamos trabalhar com cálculo de derivadas, especificamente analisando a derivabilidade em um ponto. Para isso, vamos precisar entender como se comporta a função perto de e calcular os limites das derivadas laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . A parte é o valor absoluto de . Sabemos que o valor absoluto cria uma “quebra” na função onde o que está dentro vira zero, ou seja, em .

Passo 3

Agora, vamos analisar a derivada da função à esquerda e à direita de . Para fazer isso, precisamos expressar a função sem o valor absoluto em cada uma dessas regiões.

Passo 4

Para , é positivo, então . Assim, a função fica:
A derivada dessa parte é:

Passo 5

Para , é negativo, então . Assim, a função fica:
A derivada dessa parte é:

Passo 6

Agora, vamos calcular as derivadas laterais no ponto :
  • Derivada pela direita ( ):
  • Derivada pela esquerda ( ):

Passo 7

Para a função ser derivável no ponto , as derivadas laterais devem ser iguais. Aqui, temos:
Portanto, as derivadas não são iguais.

Resposta

A função não é derivável no ponto .

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