Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(b)
$(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função dada é derivável no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de diferenciabilidade e continuidade, que são partes fundamentais do cálculo. A diferenciabilidade em um ponto depende tanto da função ser contínua nesse ponto quanto das derivadas laterais (pela esquerda e pela direita) existirem e serem iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a função é contínua no ponto
. Para a função ser contínua em
, o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 2 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Vamos calcular:
-
Limite pela esquerda (
): -
Limite pela direita (
): -
Valor da função em
:
Como todos os valores são iguais a -1, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar as derivadas laterais da função em
. A função é derivável em
se as derivadas pela esquerda e pela direita existirem e forem iguais.
Primeiro, encontramos a derivada da função para
:
Então, a derivada pela esquerda em
é:
Agora, a derivada da função para
:
Então, a derivada pela direita em
é:
Passo 4
Comparando as derivadas laterais:
Como
, as derivadas pela esquerda e pela direita não são iguais. Isso significa que a função não é derivável no ponto
.
Resposta
A função não é derivável no ponto
porque as derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes.
Exercícios relacionados
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(n) ;
$(n)
Se
é derivável em
mostre que
(Sugestão:
.
g)
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(g) .
$(g)