Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto a indicado:
$(b)
f(x) = { 3 - 2x, se x < 2; 3x - 7, se x ≥ 2 } a = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função dada é derivável no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de diferenciabilidade e continuidade, que são partes fundamentais do cálculo. A diferenciabilidade em um ponto depende tanto da função ser contínua nesse ponto quanto das derivadas laterais (pela esquerda e pela direita) existirem e serem iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a função é contínua no ponto . Para a função ser contínua em , o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 2 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
Vamos calcular:
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
  • Valor da função em :
Como todos os valores são iguais a -1, a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos verificar as derivadas laterais da função em . A função é derivável em se as derivadas pela esquerda e pela direita existirem e forem iguais.
Primeiro, encontramos a derivada da função para :
Então, a derivada pela esquerda em é:
Agora, a derivada da função para :
Então, a derivada pela direita em é:

Passo 4

Comparando as derivadas laterais:
Como , as derivadas pela esquerda e pela direita não são iguais. Isso significa que a função não é derivável no ponto .

Resposta

A função não é derivável no ponto porque as derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes.

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