Se
é derivável em
mostre que
(Sugestão:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é derivável no ponto
, e queremos provar que a derivada de
em
, que é
, pode ser calculada usando o limite simétrico:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada e manipular o limite para chegar nessa expressão.
Passo 2
Primeiro, lembrando que a derivada de
em
é definida por:
Mas queremos envolver também
. Uma boa dica é reescrever a diferença
de uma forma que envolva
.
Passo 3
Vamos usar a sugestão:
Isso separa a diferença em duas partes que podemos relacionar com a definição da derivada.
Passo 4
Agora, dividindo tudo por
:
Passo 5
Vamos analisar cada termo separadamente. Primeiro:
E segundo:
Passo 6
Agora, observamos que no limite quando
tende a 0:
E também:
Porque substituindo
por
, temos o mesmo limite.
Passo 7
Portanto, juntando os dois termos:
Resposta
Assim, mostramos que:
Exercícios relacionados
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$® ;
$®
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(o) ;
$(o)
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(n) ;
$(n)
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(b)
$(b)