Se f é derivável em a mostre que
f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a-h)2 h
(Sugestão:
f(a+h)-f(a-h)=f(a+h)-f(a)+ f(a)-f(a-h).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a-h)2 h que é derivável no ponto , e queremos provar que a derivada de em , que é , pode ser calculada usando o limite simétrico:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada e manipular o limite para chegar nessa expressão.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a derivada de f^prime(a)=limh to 0 f(a+h) - f(a)h em é definida por:
Mas queremos envolver também . Uma boa dica é reescrever a diferença de uma forma que envolva .

Passo 3

Vamos usar a sugestão:
f(a+h) - f(a-h) = [f(a+h) - f(a)] + [f(a) - f(a-h)]
Isso separa a diferença em duas partes que podemos relacionar com a definição da derivada.

Passo 4

Agora, dividindo tudo por f(a+h) - f(a-h)2h = f(a+h) - f(a)2h + f(a) - f(a-h)2h :

Passo 5

Vamos analisar cada termo separadamente. Primeiro:
f(a+h) - f(a)2h = 12 cdot f(a+h) - f(a)h
E segundo:
f(a) - f(a-h)2h = 12 cdot f(a) - f(a-h)h

Passo 6

Agora, observamos que no limite quando limh to 0 f(a+h) - f(a)h = f^prime(a) tende a 0:
limh to 0 f(a) - f(a-h)h = f^prime(a)
E também:
Porque substituindo por , temos o mesmo limite.

Passo 7

Portanto, juntando os dois termos:
limh to 0 f(a+h) - f(a-h)2h = 12 f^prime(a) + 12 f^prime(a) = f^prime(a)

Resposta

Assim, mostramos que:
f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a-h)2 h

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