Se é derivável em mostre que
(Sugestão:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é derivável no ponto , e queremos provar que a derivada de em , que é , pode ser calculada usando o limite simétrico:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada e manipular o limite para chegar nessa expressão.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a derivada de em é definida por:
Mas queremos envolver também . Uma boa dica é reescrever a diferença de uma forma que envolva .

Passo 3

Vamos usar a sugestão:
Isso separa a diferença em duas partes que podemos relacionar com a definição da derivada.

Passo 4

Agora, dividindo tudo por :

Passo 5

Vamos analisar cada termo separadamente. Primeiro:
E segundo:

Passo 6

Agora, observamos que no limite quando tende a 0:
E também:
Porque substituindo por , temos o mesmo limite.

Passo 7

Portanto, juntando os dois termos:

Resposta

Assim, mostramos que:

Exercícios relacionados

Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto indicado:
;
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto indicado:
$(o) ;
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto indicado:
$(n) ;
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto indicado:
$(b)