Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto indicado:
$(n) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função é derivável em um ponto específico . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável em um ponto e quais são as condições para isso. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é derivável em um ponto se a derivada existir nesse ponto. Para que a derivada exista, a função também precisa ser contínua em . Então, nosso primeiro passo é verificar se é contínua em .

Passo 3

Vamos analisar a função . Para que seja contínua em , tanto o numerador quanto o denominador das frações dentro da função não podem ser zero em . Além disso, devemos garantir que não haja divisão por zero.

Passo 4

Observando , temos dois pontos que podem causar problemas:
  1. O denominador não pode ser zero, ou seja, .
  2. O termo implica que .
Portanto, está definida e contínua em todos os pontos onde e .

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de para verificar se ela existe em . Utilizaremos a regra do produto e a regra do quociente para derivar a função composta.
Primeiro, identifiquemos as partes da função:
A derivada de é dada por:

Passo 6

Vamos calcular :
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular :
Derivando cada termo:

Passo 8

Substituindo e na expressão de :

Passo 9

Para que exista, todas as operações acima devem ser válidas em . Como já vimos, isso ocorre se e . Portanto, se não for nenhum desses valores, é derivável em .

Resposta

A função é derivável no ponto desde que e . Portanto, em todos os pontos que não sejam zero nem a raiz cúbica de -3, é derivável.

Exercícios relacionados

Se é derivável em mostre que
(Sugestão:
.
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto indicado:
;
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto indicado:
$(b)
g)