Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(n)
;
$(n)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função
é derivável em um ponto específico
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável em um ponto e quais são as condições para isso. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é derivável em um ponto
se a derivada existir nesse ponto. Para que a derivada exista, a função também precisa ser contínua em
. Então, nosso primeiro passo é verificar se
é contínua em
.
Passo 3
Vamos analisar a função
. Para que
seja contínua em
, tanto o numerador quanto o denominador das frações dentro da função não podem ser zero em
. Além disso, devemos garantir que não haja divisão por zero.
Passo 4
Observando
, temos dois pontos que podem causar problemas:
- O denominador
não pode ser zero, ou seja, . - O termo
implica que .
Portanto,
está definida e contínua em todos os pontos
onde
e
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada de
para verificar se ela existe em
. Utilizaremos a regra do produto e a regra do quociente para derivar a função composta.
Primeiro, identifiquemos as partes da função:
A derivada de
é dada por:
Passo 6
Vamos calcular
:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Derivando cada termo:
Passo 8
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 9
Para que
exista, todas as operações acima devem ser válidas em
. Como já vimos, isso ocorre se
e
. Portanto, se
não for nenhum desses valores,
é derivável em
.
Resposta
A função
é derivável no ponto
desde que
e
. Portanto, em todos os pontos
que não sejam zero nem a raiz cúbica de -3,
é derivável.
Exercícios relacionados
Se
é derivável em
mostre que
(Sugestão:
.
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$® ;
$®
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(b)
$(b)
g)