Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$®
;
$®
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função
é derivável em um ponto específico
. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável em um ponto e quais condições precisam ser atendidas para que isso aconteça.
Passo 2
Primeiro, uma função ser derivável em um ponto
significa que a derivada dela existe nesse ponto. Para que a derivada exista, a função precisa ser contínua em
e o limite que define a derivada deve existir.
Passo 3
Vamos verificar se a função
é contínua no ponto
. A raiz quadrada está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Então, precisamos que
.
Passo 4
Vamos resolver a inequação
. Encontrar as raízes desse polinômio ajuda a determinar onde a expressão é positiva ou negativa. Vamos fatorar ou usar o método da substituição para encontrar as raízes.
Passo 5
Após encontrar as raízes
e
(por exemplo), podemos analisar os intervalos definidos por essas raízes para ver onde
é positivo. Supondo que seja positivo em
, a função
é contínua nesse intervalo.
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada da função
. Usamos a regra da cadeia: se
, então
. Aqui,
, então
.
Passo 7
Substituindo, temos:
Para que
exista, o denominador não pode ser zero e o numerador deve ser finito.
Passo 8
Verificamos se
é diferente de zero em
. Se
em
, então o denominador não é zero. Além disso, o polinômio
está definido para todo
, então o numerador também está bem.
Passo 9
Portanto, concluímos que a função
é derivável no ponto
sempre que
em
.
Resposta
A função
é derivável no ponto
sempre que
em
.
Exercícios relacionados
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(o) ;
$(o)
Considerando que, em um experimento de adubação, a resposta do crescimento de uma planta
pode ser dada por
em que
é a quantidade de fertilizante adicionada:
(a) Resolva as equações e
e explique seus significados.
(a) Resolva as equações
Se
é derivável em
mostre que
(Sugestão:
.
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(n) ;
$(n)