Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto indicado:
;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função é derivável em um ponto específico . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável em um ponto e quais condições precisam ser atendidas para que isso aconteça.

Passo 2

Primeiro, uma função ser derivável em um ponto significa que a derivada dela existe nesse ponto. Para que a derivada exista, a função precisa ser contínua em e o limite que define a derivada deve existir.

Passo 3

Vamos verificar se a função é contínua no ponto . A raiz quadrada está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Então, precisamos que .

Passo 4

Vamos resolver a inequação . Encontrar as raízes desse polinômio ajuda a determinar onde a expressão é positiva ou negativa. Vamos fatorar ou usar o método da substituição para encontrar as raízes.

Passo 5

Após encontrar as raízes e (por exemplo), podemos analisar os intervalos definidos por essas raízes para ver onde é positivo. Supondo que seja positivo em , a função é contínua nesse intervalo.

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada da função . Usamos a regra da cadeia: se , então . Aqui, , então .

Passo 7

Substituindo, temos:
Para que exista, o denominador não pode ser zero e o numerador deve ser finito.

Passo 8

Verificamos se é diferente de zero em . Se em , então o denominador não é zero. Além disso, o polinômio está definido para todo , então o numerador também está bem.

Passo 9

Portanto, concluímos que a função é derivável no ponto sempre que em .

Resposta

A função é derivável no ponto sempre que em .

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$(o) ;
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Se é derivável em mostre que
(Sugestão:
.
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto indicado:
$(n) ;