Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto indicado:
$(s) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa verificar se a função é derivável num ponto específico . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como domínio da função, continuidade e derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir onde a função está definida, ou seja, qual é o domínio dela. A expressão dentro da raiz quadrada, , precisa ser maior ou igual a zero porque não dá pra tirar raiz quadrada de número negativo nos números reais.

Passo 3

Vamos resolver a inequação :
  • Se , o denominador é positivo, então para o quociente ser positivo, o numerador também precisa ser positivo. Isso é verdade para .
  • Se , tanto o numerador quanto o denominador são negativos, então o quociente é positivo.
  • Nos intervalos e , o quociente é negativo ou indefinido.
Então, o domínio da função é .

Passo 4

Agora, para a função ser derivável no ponto , ela precisa ser contínua em e ter derivada definida nesse ponto. Vamos supor que o ponto está dentro do domínio da função, então vamos seguir.

Passo 5

Vamos calcular a derivada de . Usamos a regra da cadeia e a regra do quociente:
A derivada de é:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos verificar se a derivada existe no ponto . Para isso, precisa ser um número real finito. Olhando a expressão da derivada, vemos que:
  • deve ser diferente de 1 para evitar divisão por zero.
  • deve estar no domínio da função para que seja real.
Se satisfaz essas condições, então é derivável em . Caso contrário, não é derivável.

Resposta

A função é derivável no ponto se e somente se estiver no domínio e . Portanto, se pertence a esse domínio, a derivada em é:
Caso contrário, a função não é derivável no ponto .

Exercícios relacionados

Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto indicado:
$(m) ;
Calcule a derivada de :
(b)
Uma reta é tangente ao gráfico da função um ponto do gráfico de abscissa . Encontre a equação dessa reta.
Seja uma função tal que para todo . Suponha ainda que e que é derivável em 0 . Mostre que existe para todo e que .