Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(s)
;
$(s)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa verificar se a função
é derivável num ponto específico
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como domínio da função, continuidade e derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir onde a função está definida, ou seja, qual é o domínio dela. A expressão dentro da raiz quadrada,
, precisa ser maior ou igual a zero porque não dá pra tirar raiz quadrada de número negativo nos números reais.
Passo 3
Vamos resolver a inequação
:
- Se
, o denominador é positivo, então para o quociente ser positivo, o numerador também precisa ser positivo. Isso é verdade para . - Se
, tanto o numerador quanto o denominador são negativos, então o quociente é positivo. - Nos intervalos
e , o quociente é negativo ou indefinido.
Então, o domínio da função é
.
Passo 4
Agora, para a função ser derivável no ponto
, ela precisa ser contínua em
e ter derivada definida nesse ponto. Vamos supor que o ponto
está dentro do domínio da função, então vamos seguir.
Passo 5
Vamos calcular a derivada de
. Usamos a regra da cadeia e a regra do quociente:
A derivada de
é:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos verificar se a derivada existe no ponto
. Para isso,
precisa ser um número real finito. Olhando a expressão da derivada, vemos que:
-
deve ser diferente de 1 para evitar divisão por zero. -
deve estar no domínio da função para que seja real.
Se
satisfaz essas condições, então
é derivável em
. Caso contrário, não é derivável.
Resposta
A função
é derivável no ponto
se e somente se
estiver no domínio
e
. Portanto, se
pertence a esse domínio, a derivada em
é:
Caso contrário, a função não é derivável no ponto
.
Exercícios relacionados
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(m) ;
$(m)
Calcule a derivada de
:
(b)
(b)
Uma reta é tangente ao gráfico da função
um ponto do gráfico de abscissa
. Encontre a equação dessa reta.
Seja
uma função tal que
para todo
. Suponha ainda que
e que
é derivável em 0 . Mostre que
existe para todo
e que
.