Calcule a derivada de :
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas, mais especificamente a Regra do Produto e a Regra da Cadeia. Essas regras são essenciais para derivar funções que são produtos de duas outras funções ou que têm funções dentro de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Regra do Produto. Essa regra diz que se você tem uma função que é o produto de duas funções, e , a derivada dela é:
No nosso caso, temos:
Então, a derivada será:

Passo 3

Agora, vamos encontrar e .
Para , usamos a Regra da Potência, que diz que a derivada de é . Então:
Para , vamos usar a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia é usada quando temos uma função dentro de outra função. Aqui, temos a função externa e a função interna .
A derivada de será:
A derivada de é simplesmente 2. Então:

Passo 4

Agora, substituímos e na expressão da Regra do Produto:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Notamos que ambos os termos têm fatores comuns que podemos fatorar:
Fatorando esses termos, temos:

Passo 6

Agora, simplificamos o que está dentro dos colchetes:

Passo 7

Substituímos de volta na expressão fatorada:
Podemos também fatorar 2 do termo dentro dos parênteses para simplificar ainda mais:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Seja uma função tal que para todo . Mostre que é diferenciável em 0 e que . (Sugestão: use o teorema do sanduíche)
Calcule a derivada de :
(a)
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto indicado:
$(m) ;
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto indicado:
$(s) ;