Calcule a derivada de
:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas, mais especificamente a Regra do Produto e a Regra da Cadeia. Essas regras são essenciais para derivar funções que são produtos de duas outras funções ou que têm funções dentro de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Regra do Produto. Essa regra diz que se você tem uma função que é o produto de duas funções,
e
, a derivada dela é:
No nosso caso, temos:
Então, a derivada será:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
e
.
Para
, usamos a Regra da Potência, que diz que a derivada de
é
. Então:
Para
, vamos usar a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia é usada quando temos uma função dentro de outra função. Aqui, temos a função externa
e a função interna
.
A derivada de
será:
A derivada de
é simplesmente 2. Então:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na expressão da Regra do Produto:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão. Notamos que ambos os termos têm fatores comuns que podemos fatorar:
Fatorando esses termos, temos:
Passo 6
Agora, simplificamos o que está dentro dos colchetes:
Passo 7
Substituímos de volta na expressão fatorada:
Podemos também fatorar 2 do termo dentro dos parênteses para simplificar ainda mais:
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Seja
uma função tal que
para todo
. Mostre que
é diferenciável em 0 e que
. (Sugestão: use o teorema do sanduíche)
Calcule a derivada de
:
(a)
(a)
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(m) ;
$(m)
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(s) ;
$(s)