Seja f: R -> R uma função tal que f(x+y) = f(x) * f(y) para todo x, y em R. Suponha ainda que f(0) = 1 e que f é derivável em 0 . Mostre que f'(x) existe para todo x em R e que f'(x) = f'(0) * f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou é sobre uma função que satisfaz a propriedade para todo . Além disso, sabemos que e que é derivável em 0. Nosso objetivo é mostrar que é derivável em todo e que a derivada de em qualquer ponto , denotada por , é igual a .
Para resolver esse exercício, vamos precisar entender conceitos de funções exponenciais, propriedades de derivadas e a definição de derivabilidade. Vamos seguir passo a passo para deixar tudo bem clarinho!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a propriedade funcional dada: . Essa é uma característica típica das funções exponenciais. Por exemplo, sabemos que . Então, é provável que seja uma função exponencial ou algo semelhante.
Além disso, temos que . Para as funções exponenciais, , o que já confirma nossa suspeita inicial.

Passo 3

Agora, vamos focar na derivabilidade. Sabemos que é derivável em 0, ou seja, existe . Queremos mostrar que é derivável em qualquer , e que .
Para isso, vamos usar a definição de derivada e explorar a propriedade funcional de . A ideia é expressar de uma forma que envolva e .

Passo 4

Vamos começar aplicando a definição de derivada em um ponto genérico . A derivada de em é dada por:
Mas, como temos a propriedade , podemos substituir:

Passo 5

Observe que é exatamente a definição da derivada de em 0, ou seja, . Portanto, podemos simplificar a expressão:

Passo 6

Chegamos à conclusão que a derivada de em qualquer ponto é igual a multiplicado pela derivada de em 0. Ou seja:

Resposta

Portanto, mostramos que é derivável para todo e que a derivada de em qualquer ponto é dada por:

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