Seja
uma função tal que
para todo
. Suponha ainda que
e que
é derivável em 0 . Mostre que
existe para todo
e que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou é sobre uma função
que satisfaz a propriedade
para todo
. Além disso, sabemos que
e que
é derivável em 0. Nosso objetivo é mostrar que
é derivável em todo
e que a derivada de
em qualquer ponto
, denotada por
, é igual a
.
Para resolver esse exercício, vamos precisar entender conceitos de funções exponenciais, propriedades de derivadas e a definição de derivabilidade. Vamos seguir passo a passo para deixar tudo bem clarinho!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a propriedade funcional dada:
. Essa é uma característica típica das funções exponenciais. Por exemplo, sabemos que
. Então, é provável que
seja uma função exponencial ou algo semelhante.
Além disso, temos que
. Para as funções exponenciais,
, o que já confirma nossa suspeita inicial.
Passo 3
Agora, vamos focar na derivabilidade. Sabemos que
é derivável em 0, ou seja, existe
. Queremos mostrar que
é derivável em qualquer
, e que
.
Para isso, vamos usar a definição de derivada e explorar a propriedade funcional de
. A ideia é expressar
de uma forma que envolva
e
.
Passo 4
Vamos começar aplicando a definição de derivada em um ponto genérico
. A derivada de
em
é dada por:
Mas, como temos a propriedade
, podemos substituir:
Passo 5
Observe que
é exatamente a definição da derivada de
em 0, ou seja,
. Portanto, podemos simplificar a expressão:
Passo 6
Chegamos à conclusão que a derivada de
em qualquer ponto
é igual a
multiplicado pela derivada de
em 0. Ou seja:
Resposta
Portanto, mostramos que
é derivável para todo
e que a derivada de
em qualquer ponto
é dada por:
Exercícios relacionados
Uma reta é tangente ao gráfico da função
um ponto do gráfico de abscissa
. Encontre a equação dessa reta.
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(s) ;
$(s)
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(f) ;
$(f)