Para cada função definida abaixo faça todos os itens a seguir:
  • Encontre o domínio de .
  • Encontre a interseção com os eixos coordenados (caso haja interseção).
  • Encontre as assíntotas verticais e horizontais (caso existam).
  • Encontre a função e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
  • Encontre a função e estude a concavidade de .
  • Usando as informações dos itens anteriores, e outras que julgar necessário, esboce o gráfico de .
    .

Passo 1

Então, a gente vai resolver um exercício de funções racionais, onde temos a função . Vamos precisar saber sobre domínio das funções, interseções com os eixos, assíntotas, derivadas para encontrar intervalos de crescimento e concavidade, e por fim, usar todas essas informações para desenhar o gráfico da função.

Passo 2

Dominio de :
Primeiro, a gente precisa descobrir para quais valores de a função está definida. Olha que no denominador temos . A divisão por zero não existe, então .
Resolvendo:
Então, o domínio de é todos os números reais, exceto e :

Passo 3

Interseção com os eixos coordenados:
Interseção com o eixo y:
Para encontrar onde a função corta o eixo y, a gente coloca :
Então, a interseção com o eixo y é o ponto .
Interseção com o eixo x:
Para achar onde a função corta o eixo x, a gente coloca :
Então, as interseções com o eixo x são os pontos e .

Passo 4

Assíntotas verticais e horizontais:
Assíntotas verticais:
As assíntotas verticais ocorrem nos valores de que anulam o denominador, desde que o numerador não seja zero nesses pontos.
Já vimos que quando . Agora, verificamos o numerador nesses pontos:
Então, temos assíntotas verticais em e .
Assíntotas horizontais:
Para encontrar as assíntotas horizontais, observamos o comportamento da função quando tende ao infinito. Olha que o grau do numerador e do denominador são iguais (ambos de grau 2). A assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau:
Então, a assíntota horizontal é .

Passo 5

Derivada e intervalos de crescimento e decrescimento:
Primeiro, vamos calcular a derivada da função . Usamos a regra do quociente:
Agora, para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal de .
Como o denominador é sempre positivo (exceto onde não está definida), o sinal de depende apenas do numerador :
  • Se (ou seja, ), então está crescendo.
  • Se (ou seja, ), então está decrescendo.
Então:
  • é crescente em e
  • é decrescente em e

Passo 6

Segunda derivada e concavidade:
Vamos calcular a segunda derivada de . A partir de , usamos a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Agora, analisamos a concavidade observando o sinal de :
O numerador é sempre positivo, e o denominador depende do sinal de :
  • Se , então ⇒ Concava para cima.
  • Se , então ⇒ Concava para baixo.
Então:
  • é concava para cima em
  • é concava para baixo em e

Passo 7

Esboço do gráfico de :
Com todas as informações anteriores, podemos desenhar o gráfico:
  • O domínio é , com assíntotas verticais em e .
  • Assíntota horizontal em .
  • Interseções nos pontos , e .
  • A função é crescente em e , e decrescente em e .
  • Concavidade para cima em e para baixo fora desse intervalo.
Com isso, o gráfico terá duas ramificações próximas das assíntotas verticais, cruzando os eixos nos pontos indicados, e aproximando-se da linha conforme vai para infinito.

Resposta

A função possui domínio em , interseções nos pontos , e , assíntotas verticais em e , e assíntota horizontal em . Ela é crescente em e , decrescente em e , concava para cima em e concava para baixo fora desse intervalo. Com essas informações, o gráfico da função pode ser esboçado conforme descrito.

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, determine:
  • os intervalos nos quais é crescente ou decrescente;
  • os valores de máximo e mínimo locais de ;
  • os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
Determine e e faça os gráficos e com domínios e pontos de vista que lhe permitam ver a relação entre eles.
13. 14.
Verifique se a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, .
59.
60.
61.
62.