Para cada função
definida abaixo faça todos os itens a seguir:
- Encontre o domínio de
.
- Encontre a interseção com os eixos coordenados (caso haja interseção).
- Encontre as assíntotas verticais e horizontais (caso existam).
- Encontre a função
e os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
- Encontre a função
e estude a concavidade de
.
- Usando as informações dos itens anteriores, e outras que julgar necessário, esboce o gráfico de
.
.
Passo 1
Então, a gente vai resolver um exercício de funções racionais, onde temos a função
. Vamos precisar saber sobre domínio das funções, interseções com os eixos, assíntotas, derivadas para encontrar intervalos de crescimento e concavidade, e por fim, usar todas essas informações para desenhar o gráfico da função.
Passo 2
Dominio de
:
Primeiro, a gente precisa descobrir para quais valores de
a função está definida. Olha que no denominador temos
. A divisão por zero não existe, então
.
Resolvendo:
Então, o domínio de
é todos os números reais, exceto
e
:
Passo 3
Interseção com os eixos coordenados:
Interseção com o eixo y:
Para encontrar onde a função corta o eixo y, a gente coloca
:
Então, a interseção com o eixo y é o ponto
.
Interseção com o eixo x:
Para achar onde a função corta o eixo x, a gente coloca
:
Então, as interseções com o eixo x são os pontos
e
.
Passo 4
Assíntotas verticais e horizontais:
Assíntotas verticais:
As assíntotas verticais ocorrem nos valores de
que anulam o denominador, desde que o numerador não seja zero nesses pontos.
Já vimos que
quando
. Agora, verificamos o numerador nesses pontos:
Então, temos assíntotas verticais em
e
.
Assíntotas horizontais:
Para encontrar as assíntotas horizontais, observamos o comportamento da função quando
tende ao infinito. Olha que o grau do numerador e do denominador são iguais (ambos de grau 2). A assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau:
Então, a assíntota horizontal é
.
Passo 5
Derivada
e intervalos de crescimento e decrescimento:
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. Usamos a regra do quociente:
Agora, para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal de
.
Como o denominador
é sempre positivo (exceto onde não está definida), o sinal de
depende apenas do numerador
:
- Se
(ou seja, ), então ⇒ está crescendo. - Se
(ou seja, ), então ⇒ está decrescendo.
Então:
-
é crescente em e -
é decrescente em e
Passo 6
Segunda derivada
e concavidade:
Vamos calcular a segunda derivada de
. A partir de
, usamos a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Agora, analisamos a concavidade observando o sinal de
:
O numerador
é sempre positivo, e o denominador
depende do sinal de
:
- Se
⇒ , então ⇒ Concava para cima. - Se
⇒ , então ⇒ Concava para baixo.
Então:
-
é concava para cima em -
é concava para baixo em e
Passo 7
Esboço do gráfico de
:
Com todas as informações anteriores, podemos desenhar o gráfico:
- O domínio é
, com assíntotas verticais em e . - Assíntota horizontal em
. - Interseções nos pontos
, e . - A função é crescente em
e , e decrescente em e . - Concavidade para cima em
e para baixo fora desse intervalo.
Com isso, o gráfico terá duas ramificações próximas das assíntotas verticais, cruzando os eixos nos pontos indicados, e aproximando-se da linha
conforme
vai para infinito.
Resposta
A função
possui domínio em
, interseções nos pontos
,
e
, assíntotas verticais em
e
, e assíntota horizontal em
. Ela é crescente em
e
, decrescente em
e
, concava para cima em
e concava para baixo fora desse intervalo. Com essas informações, o gráfico da função pode ser esboçado conforme descrito.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, determine:
- os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente; - os valores de máximo e mínimo locais de
; - os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
.
Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
Determine
e
e faça os gráficos
e
com domínios e pontos de vista que lhe permitam ver a relação entre eles.
13. 14.
13.
Verifique se a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é,
.
59.
60.
61.
62.
59.
60.
61.
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