Determine e e faça os gráficos e com domínios e pontos de vista que lhe permitam ver a relação entre eles.
13. 14.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de em relação a e , que são e . Além disso, precisamos fazer os gráficos de , e de um jeito que a gente consiga ver como eles se relacionam. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar , que é a derivada de em relação a . A função dada é:
Para derivar em relação a , tratamos como uma constante:

Passo 3

Agora, vamos encontrar , que é a derivada de em relação a . Usando a mesma função:
Derivando em relação a , tratamos como constante:

Passo 4

Para fazer os gráficos de , e , você pode usar ferramentas como o GeoGebra ou o matplotlib no Python. Escolha intervalos de e que permitam visualizar bem as curvas. Por exemplo:
  • Para , um gráfico 3D que mostra como a função cresce com e .
  • Para e , gráficos que mostram as taxas de variação em cada direção.

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Para cada função definida abaixo faça todos os itens a seguir:
  • Encontre o domínio de .
  • Encontre a interseção com os eixos coordenados (caso haja interseção).
  • Encontre as assíntotas verticais e horizontais (caso existam).
  • Encontre a função e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
  • Encontre a função e estude a concavidade de .
  • Usando as informações dos itens anteriores, e outras que julgar necessário, esboce o gráfico de .
    .
Em cada um dos itens abaixo, determine:
  • os intervalos nos quais é crescente ou decrescente;
  • os valores de máximo e mínimo locais de ;
  • os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
Verifique se a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, .
59.
60.
61.
62.
Determine e .
51. (a)
(b)
52. (a)
(b)
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