Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os máximos e mínimos globais da função no intervalo . Isso é um exercício de cálculo de funções, especificamente usando conceitos de derivadas para encontrar pontos críticos onde podem ocorrer esses máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . A função arctan é a função inversa da tangente, que é crescente. Multiplicar por -2 inverte a direção da função, então será uma função decrescente.

Passo 3

Para encontrar os máximos e mínimos globais, precisamos analisar os pontos críticos e os extremos do intervalo. Pontos críticos ocorrem onde a derivada da função é zero ou não existe.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de . A derivada de é , então:

Passo 5

Agora, vamos ver onde :
Nenhuma fração com denominador positivo pode ser igual a zero, então não há pontos críticos dentro do intervalo .

Passo 6

Como não temos pontos críticos, os máximos e mínimos globais devem ocorrer nos extremos do intervalo. Vamos calcular e :

Passo 7

A função arctan(4) é um valor positivo menor que , então será menor que 2.

Resposta

No intervalo , a função tem um máximo global de em e um mínimo global de em .

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Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
em
Calcule os limites abaixo.
.
Em cada um dos itens abaixo, determine:
  • os intervalos nos quais é crescente ou decrescente;
  • os valores de máximo e mínimo locais de ;
  • os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
Para cada função definida abaixo faça todos os itens a seguir:
  • Encontre o domínio de .
  • Encontre a interseção com os eixos coordenados (caso haja interseção).
  • Encontre as assíntotas verticais e horizontais (caso existam).
  • Encontre a função e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
  • Encontre a função e estude a concavidade de .
  • Usando as informações dos itens anteriores, e outras que julgar necessário, esboce o gráfico de .
    .