Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os máximos e mínimos globais da função
no intervalo
. Isso é um exercício de cálculo de funções, especificamente usando conceitos de derivadas para encontrar pontos críticos onde podem ocorrer esses máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. A função arctan é a função inversa da tangente, que é crescente. Multiplicar por -2 inverte a direção da função, então
será uma função decrescente.
Passo 3
Para encontrar os máximos e mínimos globais, precisamos analisar os pontos críticos e os extremos do intervalo. Pontos críticos ocorrem onde a derivada da função é zero ou não existe.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. A derivada de
é
, então:
Passo 5
Agora, vamos ver onde
:
Nenhuma fração com denominador positivo pode ser igual a zero, então não há pontos críticos dentro do intervalo
.
Passo 6
Como não temos pontos críticos, os máximos e mínimos globais devem ocorrer nos extremos do intervalo. Vamos calcular
e
:
Passo 7
A função arctan(4) é um valor positivo menor que
, então
será menor que 2.
Resposta
No intervalo
, a função
tem um máximo global de
em
e um mínimo global de
em
.