Em cada um dos itens abaixo, determine:
- os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente;
- os valores de máximo e mínimo locais de
;
- os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa analisar a função
no intervalo de
a
. Vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, identificar os máximos e mínimos locais, e também ver como ela se comporta em termos de concavidade e pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função
. A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
ou onde a derivada não existe. Como
sempre existe, só precisamos resolver:
Isso acontece quando
, onde
é um inteiro.
Passo 4
Dentro do nosso intervalo
, os valores que satisfazem essa equação são:
Mas
é maior que
, então descartamos. Assim, os pontos críticos são
.
Passo 5
Vamos analisar o sinal da derivada
em cada intervalo determinado por esses pontos críticos para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
-
Para
, escolha : => Cresce -
Para
, escolha : => Decresce -
Para
, escolha : => Cresce -
Para
, escolha : => Cresce
Passo 6
Agora, vamos identificar os máximos e mínimos locais. Um ponto crítico é um máximo local se a derivada passa de positiva para negativa, e um mínimo local se passa de negativa para positiva.
- Em
, a derivada muda de positiva para negativa => Máximo Local - Em
, a derivada muda de negativa para positiva => Mínimo Local - Em
, a derivada muda de positiva para positiva => Não é máximo nem mínimo
Passo 7
Vamos calcular os valores dos máximos e mínimos locais substituindo
na função original.
-
Máximo em
: -
Mínimo em
:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a concavidade da função usando a derivada segunda
. A concavidade nos diz se a função está “sorrindo” ou “chorando”.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 9
Vamos encontrar os pontos onde
para identificar possíveis pontos de inflexão.
Isso ocorre quando
, onde
é um inteiro.
Dentro do intervalo
, os valores são
.
Passo 10
Vamos analisar o sinal de
em cada intervalo para determinar a concavidade.
-
Para
, escolha : => Concava para baixo -
Para
, escolha : => Concava para cima -
Para
, escolha : => Concava para baixo -
Para
, escolha : => Concava para baixo
Passo 11
Os pontos onde a concavidade muda são os pontos de inflexão. Portanto, temos inflexões em
.
Resposta
Resumindo:
-
Crescimento/Decrescimento:
- Cresce em
, - Decresce em
- Cresce em
-
Máximos e Mínimos Locais:
- Máximo local:
, - Mínimo local:
,
- Máximo local:
-
Concavidade e Pontos de Inflexão:
- Concava para baixo em
, - Concava para cima em
- Pontos de inflexão em
- Concava para baixo em
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Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
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em
Para cada função
definida abaixo faça todos os itens a seguir:
- Encontre o domínio de
. - Encontre a interseção com os eixos coordenados (caso haja interseção).
- Encontre as assíntotas verticais e horizontais (caso existam).
- Encontre a função
e os intervalos de crescimento e decrescimento de . - Encontre a função
e estude a concavidade de . - Usando as informações dos itens anteriores, e outras que julgar necessário, esboce o gráfico de
.
.
Determine
e
e faça os gráficos
e
com domínios e pontos de vista que lhe permitam ver a relação entre eles.
13. 14.
13.