Em cada um dos itens abaixo, determine:
  • os intervalos nos quais é crescente ou decrescente;
  • os valores de máximo e mínimo locais de ;
  • os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa analisar a função no intervalo de a . Vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, identificar os máximos e mínimos locais, e também ver como ela se comporta em termos de concavidade e pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função . A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde ou onde a derivada não existe. Como sempre existe, só precisamos resolver:
Isso acontece quando , onde é um inteiro.

Passo 4

Dentro do nosso intervalo , os valores que satisfazem essa equação são:
Mas é maior que , então descartamos. Assim, os pontos críticos são .

Passo 5

Vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado por esses pontos críticos para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Para , escolha :
    => Cresce
  • Para , escolha :
    => Decresce
  • Para , escolha :
    => Cresce
  • Para , escolha :
    => Cresce

Passo 6

Agora, vamos identificar os máximos e mínimos locais. Um ponto crítico é um máximo local se a derivada passa de positiva para negativa, e um mínimo local se passa de negativa para positiva.
  • Em , a derivada muda de positiva para negativa => Máximo Local
  • Em , a derivada muda de negativa para positiva => Mínimo Local
  • Em , a derivada muda de positiva para positiva => Não é máximo nem mínimo

Passo 7

Vamos calcular os valores dos máximos e mínimos locais substituindo na função original.
  • Máximo em :
  • Mínimo em :

Passo 8

Agora, vamos encontrar a concavidade da função usando a derivada segunda . A concavidade nos diz se a função está “sorrindo” ou “chorando”.
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 9

Vamos encontrar os pontos onde para identificar possíveis pontos de inflexão.
Isso ocorre quando , onde é um inteiro.
Dentro do intervalo , os valores são .

Passo 10

Vamos analisar o sinal de em cada intervalo para determinar a concavidade.
  • Para , escolha :
    => Concava para baixo
  • Para , escolha :
    => Concava para cima
  • Para , escolha :
    => Concava para baixo
  • Para , escolha :
    => Concava para baixo

Passo 11

Os pontos onde a concavidade muda são os pontos de inflexão. Portanto, temos inflexões em .

Resposta

Resumindo:
  • Crescimento/Decrescimento:
    • Cresce em ,
    • Decresce em
  • Máximos e Mínimos Locais:
    • Máximo local: ,
    • Mínimo local: ,
  • Concavidade e Pontos de Inflexão:
    • Concava para baixo em ,
    • Concava para cima em
    • Pontos de inflexão em

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Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
em
Para cada função definida abaixo faça todos os itens a seguir:
  • Encontre o domínio de .
  • Encontre a interseção com os eixos coordenados (caso haja interseção).
  • Encontre as assíntotas verticais e horizontais (caso existam).
  • Encontre a função e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
  • Encontre a função e estude a concavidade de .
  • Usando as informações dos itens anteriores, e outras que julgar necessário, esboce o gráfico de .
    .
Determine e e faça os gráficos e com domínios e pontos de vista que lhe permitam ver a relação entre eles.
13. 14.