Verifique se a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, u_xy = u_yx.
59. u = x^4 * y^3 - y^4
60. u = e^(x y) sen(y)
61. u = cos(x^2 y)
62. u = ln(x + 2y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa verificar se o Teorema de Clairaut é válido para algumas funções. O Teorema de Clairaut diz que, se uma função tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então . Ou seja, a ordem das derivadas não altera o resultado. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais mistas e de cada função e ver se elas são iguais.

Passo 2

Função 59:
Primeiro, vamos encontrar (derivada parcial de u em relação a x):
Agora, derivamos em relação a y para encontrar :
Em seguida, encontramos (derivada parcial de u em relação a y):
Agora, derivamos em relação a x para encontrar :
Como e , temos que .

Passo 3

Função 60:
Primeiro, vamos achar :
Agora, derivamos em relação a y para encontrar :
Simplificando:
Agora, vamos encontrar :
Derivando em relação a x para encontrar :
Observamos que .

Passo 4

Função 61:
Primeiro, calculamos :
Agora, derivamos em relação a y para encontrar :
Simplificando:
Agora, encontramos :
Derivando em relação a x para encontrar :
Comparando com , vemos que eles são diferentes. Portanto, .

Passo 5

Função 62:
Primeiro, vamos encontrar :
Agora, derivamos em relação a y para encontrar :
Em seguida, encontramos :
Derivando em relação a x para encontrar :
Como e , temos que .

Resposta

  • Função 59: ✔️
  • Função 60: ✔️
  • Função 61:
  • Função 62: ✔️
Portanto, o Teorema de Clairaut é válido para as funções 59, 60 e 62, mas não para a função 61.

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