Verifique se a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é,
.
59.
60.
61.
62.
59.
60.
61.
62.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa verificar se o Teorema de Clairaut é válido para algumas funções. O Teorema de Clairaut diz que, se uma função tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então
. Ou seja, a ordem das derivadas não altera o resultado. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais mistas
e
de cada função e ver se elas são iguais.
Passo 2
Função 59:
Primeiro, vamos encontrar
(derivada parcial de u em relação a x):
Agora, derivamos
em relação a y para encontrar
:
Em seguida, encontramos
(derivada parcial de u em relação a y):
Agora, derivamos
em relação a x para encontrar
:
Como
e
, temos que
.
Passo 3
Função 60:
Primeiro, vamos achar
:
Agora, derivamos
em relação a y para encontrar
:
Simplificando:
Agora, vamos encontrar
:
Derivando
em relação a x para encontrar
:
Observamos que
.
Passo 4
Função 61:
Primeiro, calculamos
:
Agora, derivamos
em relação a y para encontrar
:
Simplificando:
Agora, encontramos
:
Derivando
em relação a x para encontrar
:
Comparando
com
, vemos que eles são diferentes. Portanto,
.
Passo 5
Função 62:
Primeiro, vamos encontrar
:
Agora, derivamos
em relação a y para encontrar
:
Em seguida, encontramos
:
Derivando
em relação a x para encontrar
:
Como
e
, temos que
.
Resposta
- Função 59:
✔️ - Função 60:
✔️ - Função 61:
❌ - Função 62:
✔️
Portanto, o Teorema de Clairaut é válido para as funções 59, 60 e 62, mas não para a função 61.