Para cada função
definida abaixo faça todos os itens a seguir:
- Encontre o domínio de
.
- Encontre a interseç̧ão com os eixos coordenados (caso haja interseç̧ão).
- Encontre as assíntotas verticais e horizontais (caso existam).
- Encontre a função
e os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
- Encontre a função
e estude a concavidade de
.
- Usando as informações dos itens anteriores, e outras que julgar necessário, esboce o gráfico de
,:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para analisarmos a função
. Vamos trabalhar com cálculo de funções, explorando domínio, interseções, assíntotas, derivadas e concavidade para, no final, esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar lembrar de conceitos básicos de exponenciais, derivadas e análise de gráficos.
Passo 2
Encontrar o domínio de
.
O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para
, vemos que o expoente
requer que
, pois divisão por zero não é permitida. Além disso, a função exponencial está sempre definida para todo número real. Portanto, o domínio de
é todos os reais exceto zero.
Matematicamente:
Passo 3
Encontrar a interseção com os eixos coordenados.
Interseção com o eixo
:
Para encontrar onde a função cruza o eixo
, definimos
. Porém, no nosso domínio
, então a função não intercepta o eixo
.
Interseção com o eixo
:
Para encontrar onde a função cruza o eixo
, definimos
:
Aplicando o logaritmo natural:
Portanto, a interseção com o eixo
ocorre no ponto
.
Passo 4
Encontrar as assíntotas verticais e horizontais.
Assíntota vertical:
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito. Observando o domínio, vemos que
é o único ponto que não está no domínio. Vamos verificar os limites quando
se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda:
Portanto, há uma assíntota vertical em
.
Assíntota horizontal:
Verificamos os limites quando
tende ao infinito e a menos infinito:
Então, há uma assíntota horizontal em
.
Passo 5
Encontrar a função
e os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada
.
A função é:
A derivada de
é
. Aqui,
, então
.
Portanto:
Agora, vamos analisar o sinal de
para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
-
é sempre positivo. -
é sempre positivo, exceto em , que já está excluído do domínio. - O sinal de
depende do sinal de , ou seja, sempre negativo.
Então,
para todo
no domínio.
Conclusão:
A função está sempre decrescente em seu domínio.
A função
Passo 6
Encontrar a função
e estudar a concavidade de
.
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada
.
Já temos:
Vamos derivar novamente usando a regra do quociente e a regra da cadeia:
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada termo:
Substituindo de volta:
Fatorando
:
Agora, vamos analisar o sinal de
:
-
é sempre positivo. -
depende do sinal de , já que para .
Então:
- Se
, ou seja, , , indicando concavidade para cima. - Se
, ou seja, , , indicando concavidade para baixo.
Conclusão:
-
é côncava para cima quando . -
é côncava para baixo quando .
Passo 7
Esboçar o gráfico de
usando as informações anteriores.
Vamos resumir o que temos até agora:
- Domínio:
- Interseção com o eixo
: - Assíntota vertical:
- Assíntota horizontal:
- Crescimento/Decrescimento: Sempre decrescente
- Concavidade:
- Para
: concavidade para cima - Para
: concavidade para baixo
- Para
Passos para o esboço:
-
Desenhar as assíntotas:
- Linha vertical em
- Linha horizontal em
- Linha vertical em
-
Marcar a interseção com o eixo
: - Ponto
- Ponto
-
Analisar os limites:
- Conforme
, - Conforme
, - Conforme
e ,
- Conforme
-
Traçar a curva:
- Para
, a função cresce de até próximo de , sempre decrescendo. - Para
, a função se aproxima de quando e se aproxima de quando , com uma mudança de concavidade em .
- Para
Observação sobre concavidade:
- A mudança na concavidade em
indica um possível ponto de inflexão, onde a curva muda de côncava para cima para côncava para baixo.
Esboço Final:
O gráfico terá duas partes:
O gráfico terá duas partes:
-
Para
: Uma curva que começa próxima a e desce até interceptar o eixo em , aproximando-se da assíntota vertical . -
Para
: Uma curva que se aproxima de à medida que se aproxima de 0 pela esquerda, e de à medida que vai para menos infinito, com uma concavidade que muda em .
Resposta
Foram encontradas as seguintes características para a função
:
- Domínio:
- Interseção com o eixo
: - Assíntota vertical:
- Assíntota horizontal:
- Crescimento/Decrescimento: Sempre decrescente em todo o domínio
- Concavidade:
- Côncava para cima quando
- Côncava para baixo quando
- Côncava para cima quando
Com base nessas informações, o gráfico de
foi esboçado, refletindo as assíntotas, interseções, comportamento de crescimento e concavidade conforme detalhado nos passos anteriores.