Para cada função f definida abaixo faça todos os itens a seguir:
  • Encontre o domínio de f.
  • Encontre a interseç̧ão com os eixos coordenados (caso haja interseç̧ão).
  • Encontre as assíntotas verticais e horizontais (caso existam).
  • Encontre a função f'(x) e os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
  • Encontre a função f''(x) e estude a concavidade de f.
  • Usando as informações dos itens anteriores, e outras que julgar necessário, esboce o gráfico de f,: f(x) = e^(1/x) - 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para analisarmos a função . Vamos trabalhar com cálculo de funções, explorando domínio, interseções, assíntotas, derivadas e concavidade para, no final, esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar lembrar de conceitos básicos de exponenciais, derivadas e análise de gráficos.

Passo 2

Encontrar o domínio de .
O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para , vemos que o expoente requer que , pois divisão por zero não é permitida. Além disso, a função exponencial está sempre definida para todo número real. Portanto, o domínio de é todos os reais exceto zero.
Matematicamente:

Passo 3

Encontrar a interseção com os eixos coordenados.
Interseção com o eixo :
Para encontrar onde a função cruza o eixo , definimos . Porém, no nosso domínio , então a função não intercepta o eixo .
Interseção com o eixo :
Para encontrar onde a função cruza o eixo , definimos :
Aplicando o logaritmo natural:
Portanto, a interseção com o eixo ocorre no ponto .

Passo 4

Encontrar as assíntotas verticais e horizontais.
Assíntota vertical:
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito. Observando o domínio, vemos que é o único ponto que não está no domínio. Vamos verificar os limites quando se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda:
Portanto, há uma assíntota vertical em .
Assíntota horizontal:
Verificamos os limites quando tende ao infinito e a menos infinito:
Então, há uma assíntota horizontal em .

Passo 5

Encontrar a função e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada .
A função é:
A derivada de é . Aqui, , então .
Portanto:
Agora, vamos analisar o sinal de para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • é sempre positivo.
  • é sempre positivo, exceto em , que já está excluído do domínio.
  • O sinal de depende do sinal de , ou seja, sempre negativo.
Então, para todo no domínio.
Conclusão:
A função está sempre decrescente em seu domínio.

Passo 6

Encontrar a função e estudar a concavidade de .
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada .
Já temos:
Vamos derivar novamente usando a regra do quociente e a regra da cadeia:
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada termo:
Substituindo de volta:
Fatorando :
Agora, vamos analisar o sinal de :
  • é sempre positivo.
  • depende do sinal de , já que para .
Então:
  • Se , ou seja, , , indicando concavidade para cima.
  • Se , ou seja, , , indicando concavidade para baixo.
Conclusão:
  • é côncava para cima quando .
  • é côncava para baixo quando .

Passo 7

Esboçar o gráfico de usando as informações anteriores.
Vamos resumir o que temos até agora:
  • Domínio:
  • Interseção com o eixo :
  • Assíntota vertical:
  • Assíntota horizontal:
  • Crescimento/Decrescimento: Sempre decrescente
  • Concavidade:
    • Para : concavidade para cima
    • Para : concavidade para baixo
Passos para o esboço:
  1. Desenhar as assíntotas:
    • Linha vertical em
    • Linha horizontal em
  2. Marcar a interseção com o eixo :
    • Ponto
  3. Analisar os limites:
    • Conforme ,
    • Conforme ,
    • Conforme e ,
  4. Traçar a curva:
    • Para , a função cresce de até próximo de , sempre decrescendo.
    • Para , a função se aproxima de quando e se aproxima de quando , com uma mudança de concavidade em .
Observação sobre concavidade:
  • A mudança na concavidade em indica um possível ponto de inflexão, onde a curva muda de côncava para cima para côncava para baixo.
Esboço Final:
O gráfico terá duas partes:
  • Para : Uma curva que começa próxima a e desce até interceptar o eixo em , aproximando-se da assíntota vertical .
  • Para : Uma curva que se aproxima de à medida que se aproxima de 0 pela esquerda, e de à medida que vai para menos infinito, com uma concavidade que muda em .

Resposta

Foram encontradas as seguintes características para a função :
  • Domínio:
  • Interseção com o eixo :
  • Assíntota vertical:
  • Assíntota horizontal:
  • Crescimento/Decrescimento: Sempre decrescente em todo o domínio
  • Concavidade:
    • Côncava para cima quando
    • Côncava para baixo quando
Com base nessas informações, o gráfico de foi esboçado, refletindo as assíntotas, interseções, comportamento de crescimento e concavidade conforme detalhado nos passos anteriores.

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