Em cada um dos itens abaixo, determine:
  • os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente;
  • os valores de máximo e mínimo locais de f;
  • os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f”: $f(x)=x^{2} \ln x”

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para analisar a função . O que precisamos fazer é descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo, encontrar os pontos onde ela atinge valores máximos ou mínimos locais, e também determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo, além de identificar os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada primeira da função , que nos ajudará a determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada primeira de é:
Aqui usamos a regra do produto para derivar .

Passo 3

Agora, para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal de .
Vamos encontrar os valores de onde :
Como (porque só é definido para ), a solução é:

Passo 4

Dividimos a análise em dois intervalos com base no valor crítico encontrado:
  1. Intervalo :
    • Escolhemos .
    • Calculando .
    • Portanto, está decrescente nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    • Escolhemos .
    • Calculando .
    • Portanto, está crescente nesse intervalo.

Passo 5

Como a função passa de decrescente para crescente no ponto , esse ponto é um mínimo local. Não há pontos onde a função atinge um máximo local.

Passo 6

Agora, vamos determinar a concavidade da função usando a derivada segunda. A derivada segunda de é:

Passo 7

Vamos encontrar onde :

Passo 8

Analisamos os intervalos:
  1. Intervalo :
    • Escolhemos .
    • Calculando .
    • Portanto, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    • Escolhemos .
    • Calculando .
    • Portanto, a função é côncava para cima nesse intervalo.

Passo 9

Como a concavidade da função muda no ponto , esse ponto é um ponto de inflexão.

Resposta

  • Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
    • Crescente em .
    • Decrescente em .
  • Valores de Máximo e Mínimo Locais:
    • Mínimo local em .
    • Não há máximo local.
  • Intervalos de Concavidade e Pontos de Inflexão:
    • Concava para baixo em .
    • Concava para cima em .
    • Ponto de inflexão em .

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