Em cada um dos itens abaixo, determine:
- os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente;
- os valores de máximo e mínimo locais de
;
- os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f”: $f(x)=x^{2} \ln x”
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para analisar a função
. O que precisamos fazer é descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo, encontrar os pontos onde ela atinge valores máximos ou mínimos locais, e também determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo, além de identificar os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada primeira da função
, que nos ajudará a determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada primeira de
é:
Aqui usamos a regra do produto para derivar
.
Passo 3
Agora, para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal de
.
Vamos encontrar os valores de
onde
:
Como
(porque
só é definido para
), a solução é:
Passo 4
Dividimos a análise em dois intervalos com base no valor crítico encontrado:
-
Intervalo
: - Escolhemos
. - Calculando
. - Portanto,
está decrescente nesse intervalo.
- Escolhemos
-
Intervalo
: - Escolhemos
. - Calculando
. - Portanto,
está crescente nesse intervalo.
- Escolhemos
Passo 5
Como a função passa de decrescente para crescente no ponto
, esse ponto é um mínimo local. Não há pontos onde a função atinge um máximo local.
Passo 6
Agora, vamos determinar a concavidade da função usando a derivada segunda. A derivada segunda de
é:
Passo 7
Vamos encontrar onde
:
Passo 8
Analisamos os intervalos:
-
Intervalo
: - Escolhemos
. - Calculando
. - Portanto, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
- Escolhemos
-
Intervalo
: - Escolhemos
. - Calculando
. - Portanto, a função é côncava para cima nesse intervalo.
- Escolhemos
Passo 9
Como a concavidade da função muda no ponto
, esse ponto é um ponto de inflexão.
Resposta
-
Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
- Crescente em
. - Decrescente em
.
- Crescente em
-
Valores de Máximo e Mínimo Locais:
- Mínimo local em
. - Não há máximo local.
- Mínimo local em
-
Intervalos de Concavidade e Pontos de Inflexão:
- Concava para baixo em
. - Concava para cima em
. - Ponto de inflexão em
.
- Concava para baixo em
Exercícios relacionados
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2:
.
Para cada função
definida abaixo faça todos os itens a seguir:
- Encontre o domínio de
. - Encontre a interseç̧ão com os eixos coordenados (caso haja interseç̧ão).
- Encontre as assíntotas verticais e horizontais (caso existam).
- Encontre a função
e os intervalos de crescimento e decrescimento de . - Encontre a função
e estude a concavidade de . - Usando as informações dos itens anteriores, e outras que julgar necessário, esboce o gráfico de
,: .
Desenhe a imagem de
em que
.
Determine
sabendo que
e
.