Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos:
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos e mínimos globais das funções
e
no intervalo
. Isso envolve um pouco de cálculo, especialmente derivadas, para identificar onde as funções atingem seus valores mais altos e mais baixos nesse intervalo.
Passo 2
Vamos começar com a função
no intervalo
.
Primeiro, entenderemos o comportamento da função seno. Sabemos que
oscila entre -1 e 1 periodicamente, com período
.
Passo 2.1: Encontrar os extremos internos
Para achar os máximos e mínimos, vamos derivar a função e igualar a derivada a zero:
Igualando a derivada a zero:
No intervalo
, os valores de
que satisfazem são:
Passo 2.2: Avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades
Vamos calcular
nesses pontos:
E nas extremidades do intervalo:
Conclusão para
:
- Máximo global: 1, em
- Mínimo global: -1, em
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
no mesmo intervalo
.
Passo 3.1: Entender o comportamento da função exponencial
A função
é sempre positiva e decrescente, já que o expoente
aumenta conforme
diminui.
Passo 3.2: Encontrar os extremos
Derivando a função:
Como
para todo
, a derivada
é sempre negativa, indicando que a função é estritamente decrescente no intervalo considerado.
Passo 3.3: Avaliar a função nas extremidades
Como não há pontos críticos internos (a derivada nunca é zero), os extremos globais ocorrerão nas extremidades do intervalo:
Conclusão para
:
- Máximo global:
, em - Mínimo global:
, em
Resposta
Função
em
:
- Máximo global:
, em e - Mínimo global:
, em
Função
em
:
- Máximo global:
, em - Mínimo global:
, em
Exercícios relacionados
Determine as derivadas das funções abaixo utilizando a regra de derivação da função inversa:
Resolva:
.
Para cada função
definida abaixo faça todos os itens a seguir:
- Encontre o domínio de
. - Encontre a interseç̧ão com os eixos coordenados (caso haja interseç̧ão).
- Encontre as assíntotas verticais e horizontais (caso existam).
- Encontre a função
e os intervalos de crescimento e decrescimento de . - Encontre a função
e estude a concavidade de . - Usando as informações dos itens anteriores, e outras que julgar necessário, esboce o gráfico de
,: .
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2:
.