Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos: sen(x) e^(-x) em [-2 pi, pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos e mínimos globais das funções e no intervalo . Isso envolve um pouco de cálculo, especialmente derivadas, para identificar onde as funções atingem seus valores mais altos e mais baixos nesse intervalo.

Passo 2

Vamos começar com a função no intervalo .
Primeiro, entenderemos o comportamento da função seno. Sabemos que oscila entre -1 e 1 periodicamente, com período .
Passo 2.1: Encontrar os extremos internos
Para achar os máximos e mínimos, vamos derivar a função e igualar a derivada a zero:
Igualando a derivada a zero:
é
No intervalo , os valores de que satisfazem são:
Passo 2.2: Avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades
Vamos calcular nesses pontos:
E nas extremidades do intervalo:
Conclusão para :
  • Máximo global: 1, em
  • Mínimo global: -1, em

Passo 3

Agora, vamos analisar a função no mesmo intervalo .
Passo 3.1: Entender o comportamento da função exponencial
A função é sempre positiva e decrescente, já que o expoente aumenta conforme diminui.
Passo 3.2: Encontrar os extremos
Derivando a função:
Como para todo , a derivada é sempre negativa, indicando que a função é estritamente decrescente no intervalo considerado.
Passo 3.3: Avaliar a função nas extremidades
Como não há pontos críticos internos (a derivada nunca é zero), os extremos globais ocorrerão nas extremidades do intervalo:
Conclusão para :
  • Máximo global: , em
  • Mínimo global: , em

Resposta

Função em :
  • Máximo global: , em e
  • Mínimo global: , em
Função em :
  • Máximo global: , em
  • Mínimo global: , em

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