Determine as derivadas das funções abaixo utilizando a regra de derivação da função inversa: f(x) = arccotg(x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função inversa e queremos encontrar a sua derivada usando a regra de derivação da função inversa. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a derivada de funções inversas e aplicar essa regra à nossa função.

Passo 2

A regra de derivação da função inversa diz que se , então a derivada de em relação a é:
Isso significa que precisamos primeiro encontrar a derivada da função original e depois substituir por .

Passo 3

No nosso caso, a função original é a cotangente inversa, ou seja, . Vamos calcular a derivada dessa função:
Onde é a função cosecante.

Passo 4

Agora, aplicando a regra da derivada da função inversa:
Mas precisamos expressar isso em termos de , já que .

Passo 5

Sabemos que implica que . Podemos usar a identidade trigonométrica:
Substituindo :

Passo 6

Substituindo na expressão da derivada:

Resposta

A derivada da função é:

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