Determine as derivadas das funções abaixo utilizando a regra de derivação da função inversa:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função inversa
e queremos encontrar a sua derivada usando a regra de derivação da função inversa. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a derivada de funções inversas e aplicar essa regra à nossa função.
Passo 2
A regra de derivação da função inversa diz que se
, então a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que precisamos primeiro encontrar a derivada da função original
e depois substituir
por
.
Passo 3
No nosso caso, a função original é a cotangente inversa, ou seja,
. Vamos calcular a derivada dessa função:
Onde
é a função cosecante.
Passo 4
Agora, aplicando a regra da derivada da função inversa:
Mas precisamos expressar isso em termos de
, já que
.
Passo 5
Sabemos que
implica que
. Podemos usar a identidade trigonométrica:
Substituindo
:
Passo 6
Substituindo
na expressão da derivada:
Resposta
A derivada da função
é: