Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o polinômio de Taylor de segunda ordem para a função
em torno de
. Básicamente, isso vai nos dar uma aproximação da função
usando um polinômio que é mais fácil de trabalhar. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e avaliar elas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de segunda ordem para uma função
em torno de
é dado por:
No nosso caso,
, então simplifica para:
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias.
Passo 3
Vamos calcular
,
e
:
-
Função original:Avaliando em
: -
Primeira derivada:Avaliando em
: -
Segunda derivada:Avaliando em
:
Passo 4
Agora que temos todas as partes, vamos montar o polinômio de Taylor de segunda ordem:
Simplificando:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 2 para
em torno de
é:
Exercícios relacionados
Para cada função
definida abaixo faça todos os itens a seguir:
- Encontre o domínio de
. - Encontre a interseç̧ão com os eixos coordenados (caso haja interseç̧ão).
- Encontre as assíntotas verticais e horizontais (caso existam).
- Encontre a função
e os intervalos de crescimento e decrescimento de . - Encontre a função
e estude a concavidade de . - Usando as informações dos itens anteriores, e outras que julgar necessário, esboce o gráfico de
,: .
Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos:
em
Em cada um dos itens abaixo, determine:
- os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente; - os valores de máximo e mínimo locais de
; - os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f”: $f(x)=x^{2} \ln x”
Desenhe a imagem de
em que
.