Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o polinômio de Taylor de segunda ordem para a função
em torno de
. Básicamente, isso vai nos dar uma aproximação da função
usando um polinômio que é mais fácil de trabalhar. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e avaliar elas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de segunda ordem para uma função
em torno de
é dado por:
No nosso caso,
, então simplifica para:
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias.
Passo 3
Vamos calcular
,
e
:
-
Função original:Avaliando em
: -
Primeira derivada:Avaliando em
: -
Segunda derivada:Avaliando em
:
Passo 4
Agora que temos todas as partes, vamos montar o polinômio de Taylor de segunda ordem:
Simplificando:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 2 para
em torno de
é: