Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2: f(x) = cos(x), x = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o polinômio de Taylor de segunda ordem para a função em torno de . Básicamente, isso vai nos dar uma aproximação da função usando um polinômio que é mais fácil de trabalhar. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e avaliar elas em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de segunda ordem para uma função em torno de é dado por:
No nosso caso, , então simplifica para:
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias.

Passo 3

Vamos calcular , e :
  1. Função original:
    Avaliando em :
  2. Primeira derivada:
    Avaliando em :
  3. Segunda derivada:
    Avaliando em :

Passo 4

Agora que temos todas as partes, vamos montar o polinômio de Taylor de segunda ordem:
Simplificando:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 2 para em torno de é:

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