Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o polinômio de Taylor de segunda ordem para a função em torno de . Básicamente, isso vai nos dar uma aproximação da função usando um polinômio que é mais fácil de trabalhar. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e avaliar elas em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de segunda ordem para uma função em torno de é dado por:
No nosso caso, , então simplifica para:
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias.

Passo 3

Vamos calcular , e :
  1. Função original:
    Avaliando em :
  2. Primeira derivada:
    Avaliando em :
  3. Segunda derivada:
    Avaliando em :

Passo 4

Agora que temos todas as partes, vamos montar o polinômio de Taylor de segunda ordem:
Simplificando:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 2 para em torno de é:

Exercícios relacionados

Para cada função definida abaixo faça todos os itens a seguir:
  • Encontre o domínio de .
  • Encontre a interseç̧ão com os eixos coordenados (caso haja interseç̧ão).
  • Encontre as assíntotas verticais e horizontais (caso existam).
  • Encontre a função e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
  • Encontre a função e estude a concavidade de .
  • Usando as informações dos itens anteriores, e outras que julgar necessário, esboce o gráfico de ,: .
Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos: em
Em cada um dos itens abaixo, determine:
  • os intervalos nos quais é crescente ou decrescente;
  • os valores de máximo e mínimo locais de ;
  • os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f”: $f(x)=x^{2} \ln x”
Desenhe a imagem de em que .