Para cada função f definida abaixo faça todos os itens a seguir:
  • Encontre a função f'(x) e os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
  • Encontre a função f''(x) e estude a concavidade de f.
    (a) f(x) = x^3 + x^2 - 5 x.
    (b) f(x) = x^2 / (x^2 - 9).
    © f(x)=(x^2-4)/(16-x^2).
    (d) f(x) = 2x^3 / (x^3 - 8).
    (e) f(x) = e^(1/x) - 3.
    (f) f(x) = e^(-x^2).
    (g) f(x) = x^2 * e^x.
    (h) f(x) = x * raiz(8 - x^2).
    Roteiro para o esboço do gráfico de uma função f :
  • Determine o domínio de f
  • Encontre as intersecções do gráfico de f com os eixos coordenados
  • Verifique se a função possui simetria (função par, função ímpar, função periódica)
  • Verifique se o gráfico de f possui assíntotas (horizontais ou verticais)
  • Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento
  • Encontre os pontos de máximo e mínimo locais interiores
  • Analise a concavidade e encontre os pontos de inflexão
  • Usando todas as informações obtidas nos itens anteriores, esboce o gráfico de f

Passo 1

Beleza, temos a função . A gente precisa encontrar a derivada primeira , ver onde a função está crescendo ou decrescendo, depois achar a segunda derivada e estudar a concavidade da função. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e analisar o comportamento da função com base nisso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada primeira . A derivada mostra como a função está mudando em cada ponto.
Dada , derivamos termo a termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então, .

Passo 3

Agora, vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo. Se , a função está crescendo; se , está decrescendo.
Primeiro, resolvemos :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então,
Os pontos críticos são e .

Passo 4

Com esses pontos, dividimos a reta real em três intervalos:
Vamos testar um valor em cada intervalo para ver o sinal de :
  • Para (por exemplo, ):
    Então, a função está crescendo nesse intervalo.
  • Para (por exemplo, ):
    A função está decrescendo nesse intervalo.
  • Para (por exemplo, ):
    A função está crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Resumindo os intervalos:
  • Crescente em e
  • Decrescente em

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada , que nos ajuda a entender a concavidade da função.
Derivando :

Passo 7

Vamos encontrar onde :
Esse é o ponto onde a concavidade pode mudar, chamado de ponto de inflexão.

Passo 8

Vamos analisar o sinal de nos intervalos definidos por :
  • Para (por exemplo, ):
    A função é côncava para baixo nesse intervalo.
  • Para (por exemplo, ):
    A função é côncava para cima nesse intervalo.

Passo 9

Conclusão sobre a concavidade:
  • Côncava para baixo em
  • Côncava para cima em
O ponto é um ponto de inflexão onde a concavidade muda.

Resposta

A derivada primeira de é . A função está crescendo nos intervalos e , e decrescendo no intervalo . A segunda derivada é , indicando que a função é côncava para baixo em e côncava para cima em , com um ponto de inflexão em .

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