Para cada função
definida abaixo faça todos os itens a seguir:
- Encontre a função
e os intervalos de crescimento e decrescimento
.
- Encontre a função
e estude a concavidade de
.
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
(g)
.
(h)
.
Roteiro para o esboço do gráfico de uma função
:
- Determine o domínio de
- Encontre as intersecções do gráfico de
com os eixos coordenados
- Verifique se a função possui simetria (função par, função ímpar, função periódica)
- Verifique se o gráfico de
possui assíntotas (horizontais ou verticais)
- Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento
- Encontre os pontos de máximo e mínimo locais interiores
- Analise a concavidade e encontre os pontos de inflexão
- Usando todas as informações obtidas nos itens anteriores, esboce o gráfico de
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Roteiro para o esboço do gráfico de uma função
Passo 1
Beleza, temos a função
. A gente precisa encontrar a derivada primeira
, ver onde a função está crescendo ou decrescendo, depois achar a segunda derivada
e estudar a concavidade da função. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e analisar o comportamento da função com base nisso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada primeira
. A derivada mostra como a função está mudando em cada ponto.
Dada
, derivamos termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo. Se
, a função está crescendo; se
, está decrescendo.
Primeiro, resolvemos
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então,
Os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Com esses pontos, dividimos a reta real em três intervalos:
Vamos testar um valor em cada intervalo para ver o sinal de
:
-
Para
(por exemplo, ): Então, a função está crescendo nesse intervalo. -
Para
(por exemplo, ): A função está decrescendo nesse intervalo. -
Para
(por exemplo, ): A função está crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Resumindo os intervalos:
- Crescente em
e - Decrescente em
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda derivada
, que nos ajuda a entender a concavidade da função.
Derivando
:
Passo 7
Vamos encontrar onde
:
Esse é o ponto onde a concavidade pode mudar, chamado de ponto de inflexão.
Passo 8
Vamos analisar o sinal de
nos intervalos definidos por
:
-
Para
(por exemplo, ): A função é côncava para baixo nesse intervalo. -
Para
(por exemplo, ): A função é côncava para cima nesse intervalo.
Passo 9
Conclusão sobre a concavidade:
- Côncava para baixo em
- Côncava para cima em
O ponto
é um ponto de inflexão onde a concavidade muda.
Resposta
A derivada primeira de
é
. A função
está crescendo nos intervalos
e
, e decrescendo no intervalo
. A segunda derivada é
, indicando que a função é côncava para baixo em
e côncava para cima em
, com um ponto de inflexão em
.
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