Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
(e) partial^2 upartial y^2+partial^2 upartial x^2=0

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma equação envolvendo derivadas parciais e precisa classificar ela quanto ao tipo, ordem e se é linear ou não. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Parciais na matemática. Para resolver, vamos identificar cada uma dessas características passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é dada pela maior derivada presente nela. Aqui, temos derivadas de segunda ordem em relação a e . Então, a ordem da equação é segunda ordem.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a linearidade da equação. Uma equação diferencial é linear se as funções e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não são multiplicadas entre si. Olhando para a nossa equação:
partial^2 upartial y^2 + partial^2 upartial x^2 = 0
Vemos que e suas derivadas estão todas na primeira potência e não estão multiplicadas entre si. Portanto, a equação é linear.

Passo 4

Por último, vamos classificar o tipo da equação. Para equações diferenciais parciais de segunda ordem em duas variáveis, usamos o discriminante A partial^2 upartial x^2 + 2B partial^2 upartial x partial y + C partial^2 upartial y^2 + termos de ordem inferior = 0 , onde a equação geral é:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0
No nosso caso, a equação é:
B^2 - 4AC = 0 - 4(1)(1) = -4
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, a equação é do tipo elliptica.

Resposta

A equação é uma equação de segunda ordem, linear e do tipo elíptica.

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