Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
(e) partial^2 upartial y^2+partial^2 upartial x^2=0

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma equação envolvendo derivadas parciais e precisa classificar ela quanto ao tipo, ordem e se é linear ou não. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Parciais na matemática. Para resolver, vamos identificar cada uma dessas características passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é dada pela maior derivada presente nela. Aqui, temos derivadas de segunda ordem em relação a e . Então, a ordem da equação é segunda ordem.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a linearidade da equação. Uma equação diferencial é linear se as funções e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não são multiplicadas entre si. Olhando para a nossa equação:
partial^2 upartial y^2 + partial^2 upartial x^2 = 0
Vemos que e suas derivadas estão todas na primeira potência e não estão multiplicadas entre si. Portanto, a equação é linear.

Passo 4

Por último, vamos classificar o tipo da equação. Para equações diferenciais parciais de segunda ordem em duas variáveis, usamos o discriminante A partial^2 upartial x^2 + 2B partial^2 upartial x partial y + C partial^2 upartial y^2 + termos de ordem inferior = 0 , onde a equação geral é:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0
No nosso caso, a equação é:
B^2 - 4AC = 0 - 4(1)(1) = -4
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, a equação é do tipo elliptica.

Resposta

A equação é uma equação de segunda ordem, linear e do tipo elíptica.

Exercícios relacionados

Resolva as equações diferenciais a seguir. y''' + y'' + 15 y' - 17 y = 0
Considere-se um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão E(t), uma resistência R, uma bobine com indutância L e um condensador com capacitância C, ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador q(t) é tal que
L d^2q/dt^2 + R dq/dt + 1/C q = E(t)
sendo a intensidade de correte i, cada instante de t, dada por i(t) = d q / d t.
Supondo que E(t) = 0 (Volt), R = 2 (Ohm), L=0,05 (Henry) e C = 1/100 (Farad), e sabendo que no instante inicial a intensidade de corrente é nula e a carga do condensador é igual a 5 (Coulomb) :
determinar a carga do condensador em cada instante t;
Para cada função f definida abaixo faça todos os itens a seguir:
  • Encontre a função f'(x) e os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
  • Encontre a função f''(x) e estude a concavidade de f.
    (a) f(x) = x^3 + x^2 - 5 x.
    (b) f(x) = x^2 / (x^2 - 9).
    © f(x)=(x^2-4)/(16-x^2).
    (d) f(x) = 2x^3 / (x^3 - 8).
    (e) f(x) = e^(1/x) - 3.
    (f) f(x) = e^(-x^2).
    (g) f(x) = x^2 * e^x.
    (h) f(x) = x * raiz(8 - x^2).
    Roteiro para o esboço do gráfico de uma função f :
  • Determine o domínio de f
  • Encontre as intersecções do gráfico de f com os eixos coordenados
  • Verifique se a função possui simetria (função par, função ímpar, função periódica)
  • Verifique se o gráfico de f possui assíntotas (horizontais ou verticais)
  • Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento
  • Encontre os pontos de máximo e mínimo locais interiores
  • Analise a concavidade e encontre os pontos de inflexão
  • Usando todas as informações obtidas nos itens anteriores, esboce o gráfico de f
Resolva as equações diferenciais a seguir. y'' - 2y' + y = e^x / x, x > 0