Resolva as equações diferenciais a seguir. y'' - 2y' + y = e^x / x, x > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é para . O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, fazemos a equação característica: . Resolvendo essa equação, encontramos as raízes: com multiplicidade 2.

Passo 3

Como a equação característica tem raízes reais e iguais, a solução da homogênea é: , onde e são constantes de integração.

Passo 4

Agora, vamos achar uma solução particular da equação completa. O lado direito é , que não é algo que usamos direto com os métodos típicos. Mas, por ser uma função um pouco complicada, podemos tentar usar o método de variação de parâmetros.

Passo 5

Para o método de variação de parâmetros, precisamos das soluções da homogênea, que j�� temos: e . Vamos montar o Wronskiano:

Passo 6

Com o Wronskiano, as fórmulas para os coeficientes são:
Ignorando a constante para simplificar, temos:

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é , onde e são constantes.

Exercícios relacionados

Para cada função f definida abaixo faça todos os itens a seguir:
  • Encontre a função f'(x) e os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
  • Encontre a função f''(x) e estude a concavidade de f.
    (a) f(x) = x^3 + x^2 - 5 x.
    (b) f(x) = x^2 / (x^2 - 9).
    © f(x)=(x^2-4)/(16-x^2).
    (d) f(x) = 2x^3 / (x^3 - 8).
    (e) f(x) = e^(1/x) - 3.
    (f) f(x) = e^(-x^2).
    (g) f(x) = x^2 * e^x.
    (h) f(x) = x * raiz(8 - x^2).
    Roteiro para o esboço do gráfico de uma função f :
  • Determine o domínio de f
  • Encontre as intersecções do gráfico de f com os eixos coordenados
  • Verifique se a função possui simetria (função par, função ímpar, função periódica)
  • Verifique se o gráfico de f possui assíntotas (horizontais ou verticais)
  • Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento
  • Encontre os pontos de máximo e mínimo locais interiores
  • Analise a concavidade e encontre os pontos de inflexão
  • Usando todas as informações obtidas nos itens anteriores, esboce o gráfico de f
Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
(e) partial^2 upartial y^2+partial^2 upartial x^2=0
Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
b x^2 y'' + 5 x y' + 8 y = 0
Em cada item a seguir, determine os valores máximo e mínimo globais da função dada no intervalo dado.
(a) f(x) = 12 + 4 x - x^2, [0, 5]
(b) f(x) = (x^2 - 4)^3, [-2, 3]
© f(x) = x + 1/x, [2/10, 4]
(d) f(x) = x / (x^2 - x + 1), [0, 3]
(e) g(t) = e^t / (1 + t^2), [0, 3]
(f) f(x) = 2 cos(x) + sen(2x), [0, pi/2]
(g) f(x) = ln(x^2 + x + 1), [-1, 1]