Resolva as equações diferenciais a seguir. y'' - 2y' + y = e^x / x, x > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é para . O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, fazemos a equação característica: . Resolvendo essa equação, encontramos as raízes: com multiplicidade 2.

Passo 3

Como a equação característica tem raízes reais e iguais, a solução da homogênea é: , onde e são constantes de integração.

Passo 4

Agora, vamos achar uma solução particular da equação completa. O lado direito é , que não é algo que usamos direto com os métodos típicos. Mas, por ser uma função um pouco complicada, podemos tentar usar o método de variação de parâmetros.

Passo 5

Para o método de variação de parâmetros, precisamos das soluções da homogênea, que j�� temos: e . Vamos montar o Wronskiano:

Passo 6

Com o Wronskiano, as fórmulas para os coeficientes são:
Ignorando a constante para simplificar, temos:

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é , onde e são constantes.

Exercícios relacionados