(2 pontos) Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região limitada por e torno de .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que surge quando a região limitada pelas curvas , , e pelas linhas verticais e é girada em torno da linha vertical . Vamos usar o Método das Cascas Cilíndricas para resolver isso, que é ótimo quando a rotação é em torno de uma linha vertical diferente do eixo .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Método das Cascas Cilíndricas. Esse método envolve imaginar a região sendo dividida em finas “cascas” cilíndricas. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, é a distância da casca até o eixo de rotação, e é a diferença entre as funções superiores e inferiores.
Passo 3
Vamos identificar o raio e a altura para nossas funções:
Raio: Como estamos girando em torno de , a distância de um ponto até é .
Altura: É a diferença entre as duas funções que definem o topo e a base da região. Aqui, temos e . Então, a altura será:
Passo 4
Agora, vamos montar a integral para calcular o volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo:
Integrar :
Integrar :
Integrar :
Passo 6
Agora, vamos somar todas as integrais e aplicar os limites de integração de a :