(2 pontos) Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região limitada por y = e^(x/2) / (x + 2), y = 5 - x/4, x = -1 e x = 6 em torno de x = -2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que surge quando a região limitada pelas curvas , , e pelas linhas verticais e é girada em torno da linha vertical . Vamos usar o Método das Cascas Cilíndricas para resolver isso, que é ótimo quando a rotação é em torno de uma linha vertical diferente do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Método das Cascas Cilíndricas. Esse método envolve imaginar a região sendo dividida em finas “cascas” cilíndricas. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, é a distância da casca até o eixo de rotação, e é a diferença entre as funções superiores e inferiores.

Passo 3

Vamos identificar o raio e a altura para nossas funções:
  • Raio: Como estamos girando em torno de , a distância de um ponto até é .
  • Altura: É a diferença entre as duas funções que definem o topo e a base da região. Aqui, temos e . Então, a altura será:

Passo 4

Agora, vamos montar a integral para calcular o volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
  1. Integrar :
  2. Integrar :
  3. Integrar :

Passo 6

Agora, vamos somar todas as integrais e aplicar os limites de integração de a :
Calculando para e e subtraindo os resultados:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular os valores numéricos:
  1. Para :
  2. Para :
Substituindo de volta na expressão do volume:

Resposta

O volume do sólido de revolução é:
ú

Exercícios relacionados

Para cada função, determine os pontos de máximos ou de mínimos locais.
f(x) = -x^2 + 6x
Analise os valores máximo e mínimo das seguintes funções e esboce os gráficos.
y = 4/(x-4)
sumn=1^infty 6(-3)^n
Determine se sumn=1^infty an é convergente.