Para cada função encontre: Os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
[2 pontos por item]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima e para baixo. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente o estudo da concavidade através da segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que significa a concavidade de uma função. Uma função é côncava para cima em um intervalo se a sua segunda derivada for positiva nesse intervalo, ou seja, . Já é côncava para baixo se a segunda derivada for negativa, .

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de . A derivada de é , então:

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada, que nos dará informações sobre a concavidade:

Passo 5

Para encontrar onde a função muda de concavidade, precisamos resolver :
As soluções são e .

Passo 6

Esses valores de dividem a reta real em três intervalos: , e . Vamos testar um ponto em cada intervalo para determinar o sinal de :
  • Intervalo : Escolha
    Portanto, côncavo para cima.
  • Intervalo : Escolha
    Portanto, côncavo para baixo.
  • Intervalo : Escolha
    Portanto, côncavo para cima.

Resposta

O gráfico da função é côncavo para cima nos intervalos e , e é côncavo para baixo no intervalo .

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Use a regra da cadeia para encontrar a derivada das seguintes funções:
Para cada função encontre: Os intervalos de crescimento e decrescimento da função;
[2 pontos por item]
Usando as regras de derivação para funções trigonométricas, calcule:
Seja
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:
(h) .