Para cada função encontre: Os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima e para baixo. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente o estudo da concavidade através da segunda derivada da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que significa a concavidade de uma função. Uma função é côncava para cima em um intervalo se a sua segunda derivada for positiva nesse intervalo, ou seja, . Já é côncava para baixo se a segunda derivada for negativa, .
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de . A derivada de é , então:
Passo 4
Agora, calculamos a segunda derivada, que nos dará informações sobre a concavidade:
Passo 5
Para encontrar onde a função muda de concavidade, precisamos resolver :
As soluções são e .
Passo 6
Esses valores de dividem a reta real em três intervalos: , e . Vamos testar um ponto em cada intervalo para determinar o sinal de :
Intervalo : Escolha
Portanto, côncavo para cima.
Intervalo : Escolha
Portanto, côncavo para baixo.
Intervalo : Escolha
Portanto, côncavo para cima.
Resposta
O gráfico da função é côncavo para cima nos intervalos e , e é côncavo para baixo no intervalo .